Đề thi học sinh giỏi cấp trường Toán 10 năm 2020 – 2021 trường chuyên Bắc Ninh

Mô tả

SỞ GD & TRƯỜNG THPT CHUYÊN (Đề thi gồm 1 trang) NĂM HỌC 2020-2021 MÔN THI : Toán 10 Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1 (4.0 điểm) Giải hệ phương trình: { ( x + 1) y 2 + y + 2 + ( y 1) x 2 + x + 1 = x + y ( x 2 + x ) x y + 3 = 2 x 2 + x + y + 1 Bài 2 (4 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3 abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 2 b ( a 2 + 2) + b 2 c ( b 2 + 2) + c 2 a ( c 2 + 2) Bài 3 (4 điểm) Cho tam giác ABC với O, I theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp,nội tiếp tam giác.Chứng minh rằng AIO 90 khi và chỉ khi AB + AC 2 BC Bài 4 (4 điểm) a.Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 19 . 8 n + 17 là số nguyên tố. b.Cho 2020 số nguyên dương a 1 , a 2 , a 3 , ..., a 2020 và số nguyên a > 1 sao cho a chia hết cho a 1 , a 2 , a 3 , ..., a 2020 . Chứng minh rằng a 2021 + a 1 không chia hết cho ( a + a 1 1)( a + a 2 1) ... ( a + a 2020 1) . Bài 5 (4 điểm) Cho các số nguyên dương được viết vào 441 ô của bảng vuông 21x21.Mỗi hàng và mỗi cột có nhiều nhất 6 giá trị khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên có mặt ở ít nhất 3 cột và ít nhất 3 hàng. HẾT