150 bài toán nhị thức Newton và xác suất – Lê Văn Đoàn

Mô tả

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 113 - Chuyên đề Bài 1. NHỊ THỨC NEWTON


I. Kiến thức cơ bản cần nắm vững Nhị thức Newton là khai triển tổng (hiệu) lũy thừa có dạng: 0 1 1 2 2 2 1 1 0 ( ) . . . n n k n k k n n n n n n n n n n n n n k a b C a b C a C a b C a b C ab C b = + = = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + Nhận xét trong khai triển nhị thức: + Trong khai triển ( ) n a b có 1 n + số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau: k n k n n C C = . + Số hạng tổng quát dạng: 1 . . k n k k n n T C a b + = và số hạng thứ N thì 1 k N = . + Trong khai triển ( ) n a b thì dấu đan nhau, nghĩa là , + rồi , rồi , + ....... + Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ a và b bằng n. + Nếu trong khai triển nhị thức Niutơn, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như: 0 1 1 1 0 1 (1 ) 2 . n n n n x n n n n n n n n x C x C x C C C C = + = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = 1 0 1 1 0 1 (1 ) ( 1) ( 1) 0. x n n n n n n n n n n n n n x C x C x C C C C =− = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − = Công thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (thường cho kết hợp với khai triển): + Hoán vị: ! .( 1).( 2)...3.2.1, ( 1). n P n n n n n = = . + Chỉnh hợp: ( ) ! , 1 . ( )! k n n A k n n k = . + Tổ hợp: ! , (1 ) !.( )! ! k k n n A n C k n k n k k = = và 1 1 1 k k k n n n C C C + + + + = . II. Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều cho trước 1) Khai triễn dạng: p q n (ax bx ) + kết hợp với việc giải phương trình chứa k k n n n A , C , P . BT 1. Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) trong khai triễn của nhị thức: a) 12 1 , 0. x x x + b) 5 3 2 1 x x 10. c) 10 1 2 , 0. x x x 8064. d) 12 3 3 x x + e) 12 1 , 0. x x x + > 495. f) ( ) 18 5 1 2 , 0 . x x x + > 6528. g) 7 3 4 1 , 0. x x x + > 35. h) 17 4 3 3 2 1 , 0. x x x + 24310. BT 2. Tìm hệ số của số hạng M và cho biết đó là số hạng thứ mấy trong khai triễn nhị thức: a) 17 (2 3 ) . x y 8 9 . M x y = 9 8 9 17 3 .2 . . C b) 25 ( ) . x y + 12 13 . M x y = 13 25 . C c) 9 ( 3) . x 4 . M x = 5 5 9 3 . . C TỔ HỢP – XÁC SUẤT – NHỊ THỨC NEWTON 6Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 114 - d) 11 (1 3 ) . x 6 . M x = 6 6 11 3 . . C e) 2 12 (3 ) . x x 15 . M x = 9 3 12 3 . . C f) 2 10 ( 2 ) . x x 16 . M x = g) 40 2 1 , 0. x x x + 31 . M x = 3 40 . C h) 10 2 2 , 0. x x x 11 . M x = 3 3 10 2 . . C i) 3 2 7 ( ) . x x + 2 . M x = 35. j) 10 , 0, 0. x xy xy y y + 6 2 . M x y = 45. k) 2 3 5 (1 ) . x x x + + + 10 . M x = l) 5 2 10 (1 2 ) (1 3 ) . x x x x + + 5 . M x = m) 4 5 6 7 (2 1) (2 1) (2 1) (2 1) . x x x x + + + + + + + 5 . M x = BT 3. Tìm hệ số của số hạng thứ n trong khai triễn nhị thức, ứng với các trường hợp sau: a) 5 1 , 0. x x x + 4. n = b) 15 (3 ) . x 13. n = 12285. c) 15 1 , 0. x x x > 6. n = 5 15 . C d) 25 (2 3 ) . x 21. n = 5 20 20 25 2 .3 . . C BT 4. Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng (dạng có điều kiện) a) Cho số nguyên dương n thỏa mãn 3 1 5 . n n C C = Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 3 4 2 1 , 0 5 n x x n x + > ? 4 7 35. C = b) Tìm hệ số của 4 x trong khai triển biểu thức 3 2 , 0, n x x x biết n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức: 6 2 4 . 454 n n n C n A + = ? 8; 1792. n = c) Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển: 3 5 28 1 . , 0, n x x x x + biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: 1 2 79 n n n n n n C C C + + = ? 792. d) Cho 3 1 5 log 9 7 5 x a + = và 1 5 1 log ( 3 1) 5 5 x b + = . Tìm các số thực , x biết rằng số hạng chứa 3 a trong khai triển Newton: 8 ( ) a b + bằng 224 . 1 2. x x = = e) Tìm các giá trị của , x biết trong khai triển 5 lg(10 3 ) ( 2)lg 3 2 2 x n x + có số hạng thứ 6 bằng 21 và 1 3 2 2 n n n C C C + = . 0 2 x x = = . f) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: 2 2 2 3 2 3 15 n n C A n + = + . Tìm số hạng chứa 10 x trong khai triển nhị thức Newton: 3 2 3 2 , 0 n x x x . 4 6 4 10 10 .2 .3 . C x . g) Cho khai triển: 2 1 2 (1 2 ) ... n n o n x a a x a x a x + = + + + + với n . Biết rằng 3 2 2014 a a = . Tìm n ? 6044 n = .