Bài tập bất đẳng thức và bất phương trình – Diệp Tuân

Mô tả

Trung Tâm Luyện Thi Đạ i Học Amsterdam Chương IV - Bài 1. Bất Đẳng Thức 1 Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 4 B T Đ NG TH C B T PHƯƠNG TRÌNH A L Ý THUY T 1. nh nghĩa: Cho , a b là hai s th c. Các m nh đ " ", " ", " ", " " a b a b a b a b c g i là nh ng b t đ ng th c . Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bất (mệnh đề đúng) Với , A B là mệnh đề chứa biến thì " " A B là mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất đẳng thức A B (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến " " A B A B mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến là số thực. 2 . Tính ch t : Tính ch t Tên g i u ki n N i dung a b và b c thì a c Tính ch t b c c u a b a c b c C ng hai v c a b t đ ng th c v i m t s 0 c a b ac bc Nhân hai v c a b t đ ng th c v i m t s 0 c a b ac bc a b và c d a c b d C ng hai b t đ ng th c cùng chi u 0, 0 a c a b và c d ac bd Nhân hai b t đ ng th c cùng chi u n 2 1 2 1 n n a b a b Nâng hai v c a b t đ ng th c lên m t lũy th a n và 0 a 2 2 n n a b a b 0 a a b a b Khai căn hai v c a m t b t đ ng th c 3 3 a b a b 2.1 . Ví d minh h a : Ví dụ 1 . Cho các số thực , , a b c là số thực. Chứng minh rằng: a). a b c ab bc ca b). 2 2 1 a b ab a b c). 2 2 2 3 2( ) a b c a b c d). 2 2 2 2( ) a b c ab bc ca L i gi i ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ............... ................................ ................................ ................................ ............... ................................ ................................ ................................ ............... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ............... ................................ ................................ ................................ ............... ................................ ................................ ................................ ............... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ............... ................................ ................................ ................................ ............... ................................ ................................ ................................ ............... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ............... B À I 1 . B T NG TH CTrung Tâm Luyện Thi Đạ i Học Amsterdam Chương IV - Bài 1. Bất Đẳng Thức 2 Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ............... ................................ ................................ ................................ ............... 3 . B t đ ng th c v giá tr tuy t đ i. 3.1 . Ví d minh h a : Ví dụ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất cảu các biểu thức sau a). 2 5 A x x . b). 3 1 1 3 B x x x x . L i gi i ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ............... ................................ ................................ ................................ ............... ................................ ................................ ................................ ............... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ............... ................................ ................................ ................................ ............... ................................ ................................ ................................ ............... Ví dụ 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 1 2 1 1 y x x x x . L i gi i ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ............... ................................ ................................ ................................ ............... ................................ ................................ ................................ ............... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ............... ................................ ................................ ................................ ............... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ............... ................................ ................................ ................................ ............... 4 . B t đ ng th c gi a trung bình c ng và trung bình nhân (B t đ ng th c Cauchy) a) . i v i hai s không âm Cho 0, 0 a b , ta có 2 a b ab D u ' ' x y ra khi và ch khi a b H qu : Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau tức là Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau Nội dung Với mọi số thực x . x x x x x 0, , 0 a x a a x a x a x a x a a b a b a b 2 2 a b ab 2 a b ab