Bài tập phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Mô tả

Trung Tâm Luyện Th i Đại Học Amsterdam Chương III - Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp 1 Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 3 PP QUY N P - DÃY S - C P S C NG, NHÂN A. L Ý THUY T 1. Nguyên lý quy n p toán h c: Giả sử P n là một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n . Nếu cả hai điều kiện i và ii dưới P n n m (m là số tự nhiên cho trước). i P m ii V i m i s t nhiên , k m n u 1 P k Phương pháp ch ng minh d a trên nguyên lý quy n p toán h c g i là phương pháp quy n p toán h c( hay g i t t là phương pháp quy n p). Một cách đơn giản, ta có thể hình dun g như sau: M nh đ 1 n nên theo k t qu bư c 2, nó cũng đúng v i 1 1 2. n Vì nó đúng v i 2 n nên l i theo k t qu bư c 2, nó đúng v i 2 1 3,... n B ng cách y, ta có th kh ng đ nh r ng m nh đ i m i s t nhiên * . n 2. Phương p háp gi i toán. ch ng minh m t m nh đ P n ph thu c vào s t nhiên n i m i n m ( m là s t nhiên cho trư c), ta th c hi n theo hai bư c sau: Bư c 1: Ch ng minh r ng P n 1 n . Bư c 2: V i k là m t s t nhiên tùy ý, k m . Gi s P n n k , ta s ch ng minh P n cũng đúng khi 1 n k . Theo nguyên lý quy n p toán h c, ta k t lu n r ng P n i m i s t nhiên . n m B. PHÂN D NG VÀ CÁC BÀI T P MINH H A. DẠNG 1. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC 1. Bài tập minh họa: Bài tập 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n , ta có: a). 2 1.4 2.7 3 1 1 n n n n b). 3 1 1 1 1.2.3 2.3.4 1 2 4 1 2 n n n n n n n L i gi i. ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ .................. ................................ ................................ ................................ .................. ................................ ................................ ................................ .................. ................................ ................................ ................................ .................. ................................ ................................ ................................ .................. ................................ ................................ ................................ .................. ................................ ................................ ................................ .................. ................................ ................................ ................................ .................. ................................ ................................ ................................ .................. À I 1. PH NG PH P QUY N P TOÁN H C