Bất đẳng thức trong các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi – Nguyễn Tuấn Anh

Mô tả

Nguyễn Tuấn Anh BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN NĂM HỌC 2016 - 2017 Ngày 10 tháng 11 năm 2016 Tóm tắt nội dung Tài liệu bao gồm 2 phần chính: Phần 1: Lời giải câu Bất đẳng thức trong đề thi chọn đội tuyển của các trường Chuyên, các Tỉnh, đề thi HSG cấp tỉnh năm học 2016 - 2017, cũng như các kỳ thi tập huấn đội tuyển (Gặp gỡ toán học, Trại hè... năm 2016). Phần 2: Phần bổ sung các kỹ thuật, phương pháp chứng minh BĐT. 1 Xin gửi lời cám ơn chân thành đến các bạn trong nhóm luôn ủng hộ để hoàn thành tài liệu. Mọi đóng góp về tài liệu xin gửi về: [email protected] Nguyễn Tuấn Anh THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp Mục lục 1 Phần 1 2 2 Phần 2 58 2.1 Kỹ thuật chọn điểm rơi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.2 Phương pháp tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3 Phương pháp pqr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.3.1 Một số phân tích cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.3.2 Một số đánh giá đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.3.3 BĐT Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.3.4 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.4 Phương pháp dồn biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.5 Phương pháp SOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.5.1 Các phân tích cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.5.2 75 2.5.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1 Các kỹ thuật được trình bày trong phần 1 cũng như các kỹ thuật thông dụng hiện nay. 1 THPT chuyên Nguyễn Quang DiêuNguyễn Tuấn Anh 1 Phần 1 Bài 1 (Tp. HCM - Ngày thứ 1) . Với a, b, c là các số thực có tổng bằng 0 . Tìm GTNN của biểu thức: P = ( a 2 + 1 ) 2 + ( b 2 + 1 ) 2 + ( c 2 + 1 ) 2 + 6 6 abc L G IẢI. Nếu a = b = c = 0 thì P = 3 . Ngược lại ta chỉ cần tìm GTNN của P trong trường hợp có hai số dương và một số âm (tại sao?). Không mất tính tổng quát ta giả sử a, b > 0; c < 0 khi đó ta đặt c = d với d > 0 ta được: d = a + b Vậy P = a 4 + b 4 + d 4 + 2 ( a 2 + b 2 + d 2 ) 6 6 abd + 3 Theo BĐT AM - GM ta lại có: a 4 + b 4 + d 4 + 2 ( a 2 + b 2 + d 2 ) = a 4 + b 4 + 16 lần d 4 16 + ... + d 4 16 + ( 2 3 a 2 + 2 3 a 2 + 2 3 a 2 ) + ( 2 3 b 2 + 2 3 b 2 + 2 3 b 2 ) + 12 lần 1 6 d 2 + ... + 1 6 d 2 36 36 2 6 .a 10 b 10 d 88 2 64 . 2 12 . 3 18 = 36 36 a 10 b 10 d 88 2 64 . 2 6 . 3 18 = 6 36 3 18 .a 10 b 10 d 88 2 34 = 6 36 3 18 .a 10 b 10 d 36 . ( d 2 ) 26 2 34 Vì ( d 2 ) 2 = ( a + b 2 ) 2 ab d 2 2 2 ab Do đó: a 4 + b 4 + d 4 + 2 ( a 2 + b 2 + d 2 ) 6 36 3 18 .a 10 b 10 d 36 . ( d 2 ) 26 2 34 6 36 3 18 . 2 52 .a 10 b 10 d 36 .a 26 .b 26 2 34 = 6 36 3 18 . 2 18 abd = 6 6 abd Vậy P = a 4 + b 4 + d 4 + 2 ( a 2 + b 2 + d 2 ) 6 6 abd + 3 3 2 THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu