Các bài toán đếm – xác suất hay và khó

Mô tả

CHUYÊN M C M I TU N M T CH - CH S 2 NGÀY 27/8/2018 Fanpage: T u toán h c Chinh ph c olympic toán | 1 CÁC BÀI TOÁN ĐẾ M XÁC SU T HAY VÀ KHÓ T u toán h c Ti p n i thành công c a s trướ c, trong s này chúng ta s cñng đi tëm hiể u các bài toán m xác su t hay và khó. Bên c giáo khoa, trong bài vi t này mình s gi i thi u cho các b n m t vài công c m nh n gi i quy t các bài toán xác su t. B Chinh ph c Olympic toán các b c nhé! I. HAI BÀI TOÁN TÍNH XÁC SU T CÓ NHI U NG D NG 1. BÀI TOÁN CHIA K O EULER Bài toán chia k o c a Euler là bài toán n i ti ng trong Lý thuy t t h p. V i nh ng h c sinh chuyên Toán c c và có nhi u ng d m t cách ti p c n bài toán chia k o c a Euler cho h c sinh l th y r ng các bài toán đế m nói riêng và các bài toán t h p nói chung luôn là nh ng bài toán mà l i gi i c a nó ch ng s h Trướ c h t, xin phát bi u l i bài toán chia k o c a Euler Bài toán chia k o c a Euler: Có n cái k o (gi ng nhau) chia cho k em bé, h i có bao nhiêu cách chia sao cho em nào cũng cî kẹ o. M t cách h ng h p c th t nh hướ ng a ra l i gi i cho bài toán t ng quát. Bài toán 1. Có 20 cái k o (gi ng nhau) chia cho 3 em bé, h i có bao nhiêu cách chia sao cho a) M i em có ít nh t 1 cái k o. b) M i em có ít nh t 2 cái k o. c) Em th nh t có ít nh t 1 cái k o, em th hai có ít nh t 2 cái k o và em th ba có nhi u nh t 3 cái k o. L i gi i. a) Nh n th y r ng, vì m i em có ít nh t m t cái k o nên s k o c a em th nh t nh c t là 1 và nhi u nh t là 18 Xét các tr ng h p Trườ ng h p 1. Em th nh t nh c 1 cái k o, thì s k o c a em th hai có th là 1, 2, 3,..., 18 em th ba nh n s k o còn l i sau khi chia cho em th nh t và em th hai xong, nghĩa là trong trườ ng h p này có 18 cách chia k o. Trườ ng h p 2. Em th nh t nh c 2 cái k k o c a em th hai có th là 1, 2, 3,..., 17 em th ba nh n s k o còn l ng h p này có 17 cách chia k o ...T H P XÁC SU T VÀ CÁC BÀI TOÁN Đ M KHÓ 2 | Chinh ph c olympic toán Fanpage: T u toán h c Hoàn toàn tương tự cho các trườ ng h p còn l i, ta nh n th y s cách chia 20 cái k o cho 3 em bé sao cho em nào cũng cî kẹ o là 18 17 ... 2 1 171 Phát bi u t ng quát. N u k 1 thì ch có 1 cách chia k o N u k 2 ta tr i n chi c k o thành dàn hàng ngang, ti p theo ta dùng k 1 chi t vào n 1 khe gi a các viên k nó chia thành k ph y có t t c k 1 n 1 C cách. C 2 trườ ng h u có k 1 n 1 C cách chia k o. Trên đây là lờ i gi i c a bài toán chia k o Euler bài toán đế m n i ti ng v i nhi u ng d ng trong các bài toán đế m khác. Bài này tác gi s trình bày bài toán g n và m t s bài toán đế m d ng ng d ng mà n ng s r m c a bài toán Euler thì bài toán l i tr thành đơn giả n. Sau đây ta sẽ cùng tìm hi u m t ng d ng r t l n trong vi m s nghi m nguyên c a phương trënh. Bài toán 1. Phương trënh k i i 1 x n n k có bao nhiêu nghi Coi i x là ph n k o c a em nh th i trong bài toán chia k o thì s nghi m c trình chính là s cách chia n chi c k o cho k em nh . V k 1 n 1 C nghi m nguyên dương. Bài toán 2. Phương trënh k i i 1 x n n k có bao nhiêu nghi m nguyên không âm? Ta có 1 2 k 1 2 k x x ... x n x 1 x 1 ... x 1 n k t i i x ' x 1 thì i x ' là các s nguyên dương. ng bài toán g c ta có t t c k 1 n k 1 C nghi m nguyên không âm c Bài toán 3. B k i i 1 x n n k 1 có bao nhiêu nghi m nguyên dương? Ta luôn có k k i i i 1 i 1 x n x x' n x' 1 . V y có t t c k n 1 C nghi a phương trë nh. Bài toán 4. B k i i 1 x n n k có bao nhiêu nghi m nguyên dương? Ta có k k k i i i i 1 i 1 i 1 x n x x' n x' 0 x x'' n 1 x'' x' 1 ng bài toán Euler ta có k n C nghi m Bài toán 5. Phương trënh k i i 1 x n có bao nhiêu nghi m nguyên th a mãn ng th i 2 u ki n k i i i i i 1 x d d 0 , n d k 1 ?