Các bài toán về quan hệ chia hết trong tập hợp số

Mô tả

CHINH PH C K THI H C SINH GI I C P HAI A. KiÕn thøc cÇn nhí 1. Định nghĩa phép chia. Cho hai số nguyên a và b trong đó b 0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy nhất sao cho = + a bq r , với 0 1. r b Trong đó a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư. Khi a chia cho b thì các số dư { } 0;1; 2;...; 1 r b Nếu = r 0 thì = a bq , khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a. Ký hiệu: a b hay b a . Vậy a chia hết cho b khi và chỉ khi tồn tại số nguyên q sao cho = a bq . Nếu r 0 , khi đó ta nói a chia b có số dư là r. 2. Một số tính chất cần nhớ Tính chất 1. Mọi số nguyên khác 0 luôn chia hết cho chính nó. Tính chất 2. Nếu a b và b c thì . a c Tính chất 3. Nếu a b và b a thì . a b = ± Tính chất 4. Nếu a.b m và ( ) = b, m 1 thì a m . Tính chất 5. Nếu a m và b m thì ( ) . a b m Tính chất 6. Nếu , a m a n và ( ) , 1 m n = thì . a mn Tính chất 7. Nếu a b và c d thì . ac bd Tính chất 8. Trong n số nguyên liên tiếp luôn tồn tại một số nguyên chia hết cho n. Tính chất 9. Nếu a b 0 với a, b là các số tự nhiên thì ( ) ( ) ( ) . n n a b a b n N Tính chất 10. Nếu + a b 0 với a, b, n là các số tự nhiên và n là số lẻ thì ( ) ( ) . n n a b a b + + 3. Một số dấu hiệu chia hết = n n 1 2 1 0 A a a ...a a a , với n n 1 2 1 0 a ; a ;...; a ; a ; a là các chữ số. Khi đó ta có các dấu hiệu chia hết như sau: CH 2 QUAN H CHIA H T TRONG T P H P S TỦ SÁCH CẤP 2| 30BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | CHUYÊN Đ S H C { } 0 0 2 2 0; 2; 4;6;8 A a a ( ) 0 1 1 3 .... 3. n n A a a a a + + + + 1 0 4 4 A a a { } 0 0 5 5 0;5 . A a a 2 1 0 8 8 A a a a ( ) 0 1 1 9 .... 9. n n A a a a a + + + + ( ) ( ) 0 2 1 3 11 .... ... 11. A a a a a + + + + 1 0 25 25 A a a 2 1 0 125 125 A a a a B. C Dạng 1: Sử dụng tính chất trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n (n ≥ 1) * Cơ sở phương pháp: Sử dụng các tính chất cơ bản như: tích hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2, tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 và 3 do đó chia hết cho 6. Chúng ta vận dụng linh hoạt các tính chất cơ bản này trong nhiều các bài toán về chia hết. Bài toán 1. Chứng minh rằng: a) Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 b) Tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 c) Tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 Hướng dẫn giải a) Trong 3 số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 2 nên tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 (do (2, 3) = 1) b) Hai số chẵn liên tiếp có dạng 2n và (2n + 2) với n Z Do đó tích hai số nguyên liên tiếp có dạng 4n(n + 1) Do n và n + 1 là hai số nguyên liên tiếp nên ( ) n n 1 2 + Vì thế ( ) 4n n 1 8 + c) Ta có 120 = 3.5.8 Do 5 số nguyên liên tiếp có 3 số liên tiếp nên theo ý a) ta có tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6. 31 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC