Các dạng bài tập dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Mô tả

Chuyên đề 3: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN 92 Chuyên đề 3 : DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN VẤN ĐỀ 1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN Chứng minh mệnh đề P n n p . ( * p N ) Thực hiện 3 bước sau Bước 1 . Chứng minh mệnh đề P n n p . (Bằng cách thế n p vào mệnh đề P n và thường nhận thấy ngay sự đúng đắn của nó.) Bước 2 . Giả sử mệnh đề P n n k ( k p ). (Nghĩa là thế n k vào mệnh đề P n và giả sử mệnh đề P k này là Bước 3 . Chứng minh mệnh đề P n 1 n k . (Nghĩa là thế 1 n k vào mệnh đề P n và dựa vào giả thiết P k mệnh đề 1 P k là đúng) Khi đó ta kết luận được mệnh đề P n n là số tự nhiên và n p . Ghi chú .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. B. BÀI TOÁN MẪU Chứng minh n Z + : 3 n n chia hết cho 3. Bài giải Nhắc lại: 1; 2; 3; 4;... Z là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn hay bằng 1 và còn được kí hiệu * N Xét mệnh đề P n với nội dung: “ 3 n n chia hết cho 3 đúng với mọi n là số tự nhiên và n 1 Chứng minh P n Trường THPT MARIE CURIE 93 Bước 1 . Trước hết, chứng minh mệnh đề P n Thế n = 1 vào biểu thức 3 n n ta 3 3 1 – 1 0. n n Rõ ràng số 0 chia hết cho 3. Như vậy mệnh đề P n Vấn đề P n có đúng với n = 2, n = 3, n = 4, ... không? Muốn vậy, phải thế từng giá trị n = 2, n = 3, n = 4, ... vào biểu thức 3 n n và điều này là không tưởng! Cho nên ta làm tiếp bước thứ 2 như sau. Bước 2 . Giả sử mệnh đề P n Nghĩa là giả sử biểu thức 3 P k k k chia h Nói lại cho rõ ở bước này: Thế lần lượt n = 2, n = 3, n = 4,... đến n = k vào biểu thức n 3 n và giả sử các biểu thức được thế đó đều chia hết cho 3. Bước 3 . Bây giờ chứng minh mệnh đề P n cũng đúng với 1 n k . Thế 1 n k vào biểu thức 3 n n ta được: 3 1 1 1 P k k k và dựa vào giả thiết: 3 P k k k chia hết cho 3” để chứng minh “ 1 P k cũng chia hết cho 3” . Ta có: 3 3 2 3 2 1 1 1 3 3 1 – 1 3 2 . P k k k k k k k k k k Biến đổi biểu thức 3 2 1 3 2 P k k k k sao cho xuất hiện 3 P k k k bằng cách biến đổi: 3 2 3 2 3 2 1 3 2 3 3 3 P k k k k k k k k k k k k Theo giả thiết của bước 2 thì 3 k k chia hết cho 3, đồng thời dễ dàng thấy 2 3 k k cũng chia hết cho 3 nên 1 P k chia hết cho 3. Như vậy: “ Nếu P n P n bước 1 ta có P n P n Bây giờ ta đã có P n P n Bây giờ ta đã có P n P n .................................... Với cách lập luận tuần tự như trên ta kết luận được P n n Z + . Tên gọi Ba bước chứng minh trên là tinh thần của “Nguyên lí quy nạp” với tên gọi: Bước 1 là bước cơ sở, Bước 2 là giả thiết quy nạp và Bước 3 là bước quy nạp. Cách chứng minh trên gọi là cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp . C. VÍ DỤ Ví dụ 1. Chứng minh: 1 1 2 3 ... (*) 2 n n n với mọi * n