Chuyên đề góc và khoảng cách trong không gian – Nguyễn Nhanh Tiến

Mô tả

L A TEX Hóa  Nguyễn Hữu Nhanh Tiến h /ToanTienNhanh Hướng tới kì thi THPTQG 2019 GÓC - KHOẢNG CÁCH 1. Các dạng toán liên quan đến tính Góc 1. 1 Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b . a a b b O L a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại. L Nếu #» u và #» v lần lượt là vec-tơ chỉ phương của a và b , đồng thời ( #» u , #» v ) = thì góc giữa hai a và b bằng nếu 0 90 và bằng 180 nếu 90 < α 180 . L Nếu a và b là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0 . ! Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian. Ta thường có hai phương pháp để giải quyết cho dạng toán này. Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa góc giữa hai đường thẳng, kết hợp sử dụng hệ thức lượng trong tam giác (định lý cos , công thức trung tuyến). Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hương của hai vec-tơ. Ví dụ 1. 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 1 TT Quốc Học Huế L A TEX Hóa  Nguyễn Hữu Nhanh Tiến h /ToanTienNhanh Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng ( BCD ) . Biết tam giác BCD vuông tại C và AB = a 6 2 , AC = a 2 , CD = a . Gọi E là trung điểm của AC (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng AB và DE bằng A . 45 . B . 60 . C . 30 . D . 90 . B D E A C Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm của BC , suy ra EI AB . Khi đó ( AB, DE ) = ( EI, ED ) = IED . Ta có DC BC ( giả thiết ) DC AB ( AB ( BCD )) DC ( ABC ) , suy ra DC vuông góc với EC . Do đó DE 2 = CD 2 + EC 2 = CD 2 + AC 2 4 = 3 a 2 2 DE = a 6 2 . Ta có IE = AB 2 = a 6 4 và BC 2 = AC 2 AB 2 = a 2 2 . Tam giác ICD vuông tại C nên DI 2 = CD 2 + IC 2 = CD 2 + BC 2 4 = 9 a 2 8 . B D E A C I IDE , ta có cos IED = IE 2 + DE 2 CD 2 2 IE DE = 3 a 2 8 + 3 a 2 2 9 a 2 8 2 a 6 4 a 6 2 = 1 2 IED = 60 . Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và DE bằng 60 . ! Có thể chứng minh EI vuông góc với mặt phẳng ( BCD ) , suy ra tam giác EID vuông tại I tính góc IED Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng ( BCD ) . Biết tam giác BCD vuông tại C và AB = a 6 2 , AC = a 2 , CD = a . Gọi E là trung điểm của AD (tham khảo hình vẽ dưới đây). 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 2 TT Quốc Học Huế