Chuyên đề tích phân hàm ẩn – Hoàng Phi Hùng

Mô tả

Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Trang 1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN 1 A. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 1. TÍCH PHÂN CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC Ví dụ 1. Cho hàm số ( ) 2 2 1 0 4 3 0 x x x khi x y f x e khi x + + = =  . Biết ( ) 1 2 1 b f x dx ae c = với * , , a b c N . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T a b c = + + . A. 23 . B. 27 . C. 33 . D. 42 . Lời giải Ta có, ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 2 2 2 2 1 0 1 0 5 25 1 4 3 2 5 2 6 6 x f x dx f x dx x x dx e dx e e + = + + + = + = . 2 25 6 33 T = + + = Ví dụ 2. [Đề tham khảo – 2018] Cho hàm số ( ) f x xác định trên 1 \ 2 thỏa mãn 2 ( ) 2 1 f x x = , (0) 1 f = và (1) 2 f = . Giá trị của biểu thức ( 1) (3) f f + bằng A. 4 ln 5 + . B. 2 ln15 + . C. 3 ln15 + . D. ln15. Lời giải Cách 1: Trên khoảng 1 ; 2 +∞ : 1 2 ( ) ln(2 1) . 2 1 f x dx x C x = = + Lại có 1 (1) 2 2. f C = = 1 ; 2 : 2 2 ( ) ln(1 2 ) . 2 1 f x dx x C x = = + Lại có 2 (0) 1 1. f C = = Vậy 1 ln(2 1) 2 2 ( ) 1 ln(1 2 ) 1 2 x khi x f x x khi x + > =  + < . Suy ra ( 1) (3) 3 ln15. f f + = + Cách 2: Ta có: 0 0 0 1 1 1 3 3 3 1 1 1 2 1 (0) ( 1) '( ) ln 2 1 | ln (1) 2 1 3 2 (3) (1) '( ) ln 2 1 | ln 5 (2) 2 1 dx f f f x dx x x dx f f f x dx x x = = = = = = = = Lấy (2)-(1), ta được (3) (1) (0) ( 1) ln15 ( 1) (3) 3 ln15 f f f f f f + = + = + . 2. TÍCH PHÂN HÀM ẨN DẠNG 1. 1. ( ) ( ) ( ) ( ) . f x g x h f x = 2. ( ) ( ) ( ) ( ) . f x h f x g x = Phương pháp giải : 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... f x f x df x g x dx g x dx g x dx h f x h f x h f x = = = 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ... f x h f x dx g x dx h f x df x g x dx = = Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Trang 2 Chú ý: 1 và 2 bản chất là một ( cô lập các cụm ( ) ( ) , f x f x sang một vế). Ngoài việc nguyên hàm cả hai vế, ta có thể tích phân hai về (tùy cách hỏi) ( ) f x phải để trên tử Ví dụ 1. Giả sử hàm số ( ) y f x = liên tục, nhận giá trị dương trên ( ) 0; + ∞ và thỏa mãn ( ) 1 1 f = , ( ) ( ) 3 1 f x f x x = + , với mọi 0 x > . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ( ) 4 5 5 f < < . B. ( ) 2 5 3 f < < . C. ( ) 3 5 4 f < < . D. ( ) 1 5 2 f < < . Lời giải Cách 1: Với điều kiện bài toán ta có ( ) ( ) 3 1 f x f x x = + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 d d 3 1 3 1 f x f x x x f x f x x x = = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 d 1 3 1 d 3 1 3 f x x x f x = + + ( ) 2 ln 3 1 3 f x x C = + + ( ) 2 3 1 3 e x C f x + + = . Khi đó ( ) 4 3 4 1 1 e 1 3 C f C + = = = − ( ) 2 4 3 1 3 3 e x f x + − = ( ) ( ) 4 3 5 e 3,79 3; 4 f = . Vậy ( ) 3 5 4 f < < . Cách 2: Với điều kiện bài toán ta có ( ) ( ) 3 1 f x f x x = + ( ) ( ) 1 3 1 f x f x x = + ( ) ( ) 5 5 1 1 1 d d 3 1 f x x x f x x = + ( ) ( ) ( ) 5 1 d 4 3 f x f x = ( ) 5 1 4 ln 3 f x = ( ) ( ) 5 4 ln 1 3 f f = ( ) ( ) ( ) 4 3 5 1 .e 3,79 3; 4 f f = . Ví dụ 2. Cho ( ) f x xác có hàm, liên tục và biến trên [ ] 1;4 thỏa mãn ( ) ( ) [ ] ( ) 2 3 2 , 1;4 , 1 2 x xf x f x x f + = = . Giá trị ( ) 4 f bằng: A. 391 18 B. 361 18 C. 381 18 D. 371 18 Lời giải Biến đổi: ( ) ( ) 2 2 x xf x f x + = ( ) ( ) ( ) 2 1 2 x f x f x + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 f x f x x x f x f x = = + + . ( ) ( ) 4 4 1 1 1 2 f x dx xdx f x = + ( ) 4 1 14 1 2 3 f x + = ( ) ( ) 14 391 1 2 4 2 4 3 18 f f + = = . Ví dụ 3. Cho ( ) f x không âm thỏa mãn điều kiện 2 ( ). '( ) 2 ( ) 1 f x f x x f x = + và (0) 0 f = . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ( ) y f x = trên [ ] 1;3 là A. 22 B. 4 11 3 + C. 20 2 + D. 3 11 3 + Lời giải Biến đổi: