Dãy số và các bài toán về dãy số

Mô tả

Mục lục 1 Dãy số và các bài toán về dãy số 4 1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 5 1.3 Một số phương pháp giải bài toán về dãy số . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Dãy số thực: một số dạng dãy số đặc biệt . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Dãy số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.3 Dãy số và phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.4 Một vài thủ thuật khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Một số phương pháp xây dựng hệ thống bài tập . . . . . . . . . . . 23 1.4.1 Xây dựng dãy hội tụ bằng phương trình . . . . . . . . . . . 23 1.4.2 Xây dựng dãy truy hồi từ cặp nghiệm của phương trình bậc 2 24 1.4.3 Xây dựng các dãy số nguyên từ lời giải các phương trình nghiệm nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.4 Xây dựng dãy số là nghiệm của một họ phương trình phụ thuộc biến n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5 Lý thuyết dãy số dưới con mắt toán cao cấp . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.1 Rời rạc hóa các khái niệm và định lý của lý thuyết hàm biến số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.2 Phương pháp hàm sinh và bài toán tìm số hạng tổng quát . 29 1.5.3 . . . . . . . . . 30 1.5.4 Sử dụng xấp xỉ trong dự đoán kết quả . . . . . . . . . . . . 31 1.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 Phương trình sai phân 41 2.1 Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2 Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.1 Một số khái niệm chung về phương trình sai phân . . . . . 43 2.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất . . . . . . . . . . . . . 44 1MỤC LỤC 2 2.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.3 Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất khi vế phải f ( n ) có dạng đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4.2 Cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.5.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.5.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k . . . . . . . . . . . 58 3 Xác định số hạng tổng quát của một dãy số 60 3.1 Tìm số hạng tổng quát của dãy (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2 Công thức truy hồi là một biểu thức tuyến tính . . . . . . . . . . . 63 3.2.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3 Công thức truy hồi là một hệ biểu thức tuyến tính . . . . . . . . . 70 3.3.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.4 Công thức truy hồi là biểu thức tuyến tính với hệ số biến thiên . . 72 3.5 Công thức truy hồi dạng phân tuyến tính với hệ số hằng . . . . . . 78 3.6 Hệ thức truy hồi phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.6.1 Quy trình tuyến tính hoá một phương trình sai phân . . . . 82 3.6.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.6.3 Một số ví dụ khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.6.4 Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4 Phương trình hàm sai phân bậc hai 99 4.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . . . . . . . . 99 4.2 Phương trình hàm sai phân bậc hai với hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.3 Phương trình với hàm số tuần hoàn, phản tuần hoàn nhân tính . . 108 4.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.3.2 Một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.3.3 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125