Đề học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Quảng Nam (đợt 1)

Mô tả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT ĐỢT 1 TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN TOANMATH.com Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 07/10/2022 Câu 1. (3,0 điểm) 2 2 x − y + x + y = y −1 − x Giải hệ phương trình: 2 3 2 x − 11y + 32 = 3. 4 y − 8 ( x, y ) . Câu 2. (2,0 điểm) Cho dãy số ( un ) u1 = 2023 được xác định như sau: 2022un3 + 2022un u = n+1 2022u 2 − u + 2022 , n n n 1 n ui2 . 2 n →+ 2n + 1 i =1 1 + ui . Tính lim * Câu 3. (5,0 điểm) Cho đường tròn ( O ) và hai điểm A, B cố định nằm trên đường tròn ( O ) sao cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Xét một điểm C trên đường tròn ( O ) sao cho tam giác ABC không cân tại C. Gọi ( O1 ) là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với BC tại C; ( O2 ) là đường tròn đi qua B và tiếp xúc với AC tại C. Hai đường tròn ( O1 ) và ( O2 ) cắt nhau tại điểm thứ hai là D (D khác C). a) Tiếp tuyến của đường tròn ( O ) tại C cắt đường thẳng OD tại S. Chứng minh