Đề khảo sát đội tuyển HSG Toán 10 lần 1 năm học 2017 – 2018 trường THPT Thanh Miện – Hải Dương

Mô tả

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT THANH MIỆN NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút ( thi g m 01 trang) Câu 1 (2 điểm) a) Cho parabol (P): 2 4 5 y x x và điểm (1; 4) I . Tìm trên (P) hai điểm M, N đối xứng nhau qua điểm I. b) Tìm các giá trị của m 2 4 2 2 x m m có 4 nghiệm phân biệt. Câu 2 (3 điểm) a) Giải bất phương trình: 2 ( 1) 2 ( 6) 7 7 12 x x x x x x b) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 (x 1)(y 6) y(x 1) (y 1)(x 6) x(y 1) c) Tìm m 2 4 3 1 1 2 1 x m x x có nghiệm. Câu 3 (3 điểm) a) Cho tam giác ABC có trọng tâm là G . Hai điểm D và E bởi các hệ thức: 2 2 ; 5 A D AB AE AC . Chứng minh rằng: D , E , G thẳng hàng b) Gọi H là trực tâm ABC , M là trung điểm của B C. Chứng minh rằng 2 1 . 4 M H MA BC c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD , điểm ( 2;0) M là trung điểm của cạnh AB , điểm (1; 1) H là hình chiếu của B trên AD và điểm 7 ;3 3 G là trọng tâm tam giác BCD . Đường thẳng HM cắt BC tại E , đường thẳng HG cắt BC tại F . Tìm tọa độ các điểm E , F và B Câu 4 (1 điểm) Cho x , y là các số thực thỏa mãn 2 2 1 x y . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 ( ) 3 1 x y y S xy . Câu 5 (1 điểm) Cho x , y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 A x y x y y .....................Hết......................SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT THANH MIỆN LẦN 1 NĂM HỌC 2017 – 2018 MÔN THI: TOÁN ( m 04 trang) Câu Nội dung 1 a Cho parabol (P): 2 4 5 y x x và điểm (1; 4) I . Tìm trên (P) hai 1,00 qua I và có hsg k có phương trình ( 1) 4 y k x Xét pt 2 2 4 5 ( 1) 4 ( 4) 1 0 x x k x x k x k (1) 0,25 2 2 ( 4) 4( 1) 0 4 20 0, k k k k k cắt (P) tại M và N Gọi 2 nghiệm của (1) là 1 2 1 1 2 2 , ( ; ( 1) 4), ( ; ( 1) 4) x x M x k x N x k x 0,25 M, N đối xứng nhau qua điểm I I là trung điểm của MN 1 2 1 2 1 4 2 1 2 ( 1) 4 ( 1) 4 2 4 2 x x k k k x k x 0,25 Khi đó (1) 2 2 3 0 1 x x x hoặc 3 x . Vậy ( 1;0), (3;8) M N 0,25 1 b Tìm m để phương trình 2 4 2 2 x m m có 4 nghiệm phân biệt 1,00 4 2 0 1 m m m hoặc 1 m (1) 0,25 Khi đó 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) x m m x m m x m m x m m 0,25 4 2 2 2 ( ) 0 1 2 m m m 0,25 Kết hợp với ĐK (1) ta được 1 2 m hoặc 2 1 m 0,25 Cách khác . Pt có 4 nghiệm 4 2 y m m cắt đths 2 2 y x tại 4 điểm. Từ đồ thị suy ra 4 2 0 2 1 | | 2 m m m 2 a Giải bất phương trình: 2 ( 1) 2 ( 6) 7 7 12 x x x x x x 1,00 2 x . BPT 2 ( 1) 2 2 ( 6) 7 3 2 8 x x x x x x 0,25 2 2 ( 1) ( 6) ( 2)( 4) 2 2 7 3 x x x x x x x x 1 6 ( 2) ( 4) 0 2 2 7 3 x x x x x x 0,25 Ta có 1 6 ( 4) 2 2 7 3 x x x x x 2 2 6 6 1 2 2 2 2 7 3 2 2 x x x x x x x 0,25