Đề Olympic 30 tháng 4 Toán 11 năm 2021 trường chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM

Mô tả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4 LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021 Ngày thi: 03/4/2021 MÔN THI: TOÁN KHỐI: 11 THỜI GIAN: 180 phút Hình thức làm bài: Tự luận 01 trang Lưu ý: - Thí sinh làm mỗi câu trên một tờ giấy riêng và ghi rõ câu số mấy ở trang 1 của mỗi tờ giấy làm bài - Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Câu 1. (4,0 điểm) Cho , , a b c là các số thực dương có tổng bằng 2. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . a b b c c a a b c Câu 2. (3,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số : (0; ) (0; ) f thỏa mãn điều kiện ( ( )) 1 y f x f y xf f x với mọi , (0; ). x y Câu 3. (4,0 điểm) a. Cho , m n là các số nguyên dương sao cho 2 m n là ước dương của 1. n Chứng minh rằng phương trình 2 2 ( ) m m n x y x y có nghiệm nguyên dương. b. Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho phương trình 304 304 ( ) n x y x y có nghiệm nguyên dương? Câu 4. (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn ( ). O Gọi , , A B C là chân đường cao hạ từ các đỉnh , , . A B C Một đường tròn qua , B C tiếp xúc với cung nhỏ BC của ( ) O tại 1 . A Các điểm 1 1 , B C xác định tương tự. a. Chứng minh rằng 1 1 cot . cot A B B A C C b. Vẽ các hình bình hành 1 1 , . B ABX C ACY Chứng minh rằng các điểm 1 , , X Y A và 0 A thuộc một đường tròn với 0 AA là đường kính của ( ). O c. Vẽ các hình bình hành 1 2 1 2 1 2 , , . BA CA CB AB AC BC Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác 2 2 2 A B C . ABC Câu 5. (4,0 điểm) Bộ hai số nguyên khác không , x y x là số lẻ, y là số chẵn, , x y nguyên tố cùng nhau và 2 2 x y là số chính phương. a. Chứng minh rằng , x y là “bộ số đẹp” khi và chỉ khi tồn tại 2 số nguyên , u v khác 0 và khác tính chẵn lẻ, nguyên tố cùng nhau sao cho 2 2 , , 2 . x y u v uv b. Với mỗi “bộ số đẹp” , x y ta có thể tạo ra 1 “bộ số đẹp” mới bởi 1 trong 2 phép biến đổi: hoặc đổi dấu của 1 trong 2 số hoặc cộng 1 số nguyên k nào đó vào cả 2 số sao cho , x k y k là “bộ số đẹp”. Chứng minh rằng với bất kỳ 2 bộ số đẹp , x y và , z t cho trước ta luôn có thể biến đổi từ , x y thành , z t sau hữu hạn các bước biến đổi như trên. HẾT Họ tên thí sinh: ...................................................................... SBD: ................................ Trường: ................................................................................. Tỉnh/TP: .........................SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4 LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021 Ngày thi: 03/4/2021 MÔN THI: TOÁN 11 - THỜI GIAN: 180 phút Hình thức làm bài: Tự luận 06 trang Nội dung Bài 1 Cho , , a b c là các số thực dương thay đổi có tổng bằng 2. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . a b b c c a a b c 4 Cách 1: Xét , u a b , , v b c , , w c a . , 2; 2 u v w a b c a b c Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 u v w u v w a b b c c a . Cách 2: Ta có 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b . Tương tự cho các số hạng còn lại, ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b c . 2 Do bất đẳng thức đối xứng nên ta có thể giả sử min , , a a b c . Ta có 2 2 2 2 2 2 4 2 a a a b ab b a b b . 2 2 2 2 2 2 4 2 a a a c ac c a c c . 2 2 2 2 2 b c a b c . Cộng vế với vế, ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b c a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b c . 2