Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán năm 2020 sở GD&ĐT Cao Bằng

Mô tả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN CAO BẰNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề gồm: 01 trang) Câu 1 (4,0 điểm). Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: 3 3 2 3 6 13 10 . 2 2019 2020 3 x y x x y x x x y Câu 2 (4,0 điểm). Cho dãy số n u xác định bởi: 1 2 2 1 1; 9 . 10 , 1 n n n u u u u u n a) Tính giá trị của 2 2 1 . . n n n A u u u b) Chứng minh rằng 2 6 2 n u là số chính phương. Câu 3 (4,0 điểm). a) Chứng minh rằng trong 5 số nguyên dương bất kì, luôn tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3. b) Chứng minh rằng trong 13 ước nguyên dương của 2019 6 , luôn tồn tại 3 số có tích là lập phương của một số tự nhiên. Câu 4 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trung điểm các cạnh AC , AB lần lượt là M và N . Đường thẳng đi qua A lần lượt vuông góc với AC , AB cắt đường thẳng BC tại X và Y. Gọi XM AB P , . YN AC Q Chứng minh rằng O , P , Q thẳng hàng. Câu 5 (4,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số : f thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) f x y x yf x f y , , . x y ---------- HẾT ---------- (Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: ...................................................................... Số báo danh: ............................... Họ tên, chữ ký của giám thị: .........................................................................................