Đề thi chọn đội tuyển môn Toán năm 2018 – 2019 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

Mô tả

TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT CHUYÊN Ngày thi thứ nhất: 10-09-2018 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Cho tam thức bậc hai f ( x ) = x 2 + ax + b với a, b R . Biết rằng tồn tại duy nhất số thực x 0 sao cho f ( f ( x 0 )) = 0 . Chứng minh rằng a, b là các số không âm. Câu 2. Cho ba số dương a 1 , b 1 , c 1 thoả mãn a 1 + b 1 + c 1 = 1 và các dãy số ( a n ) , ( b n ) , ( c n ) thoả mãn a n +1 = a 2 n + 2 b n c n , b n +1 = b 2 n + 2 a n c n , c n +1 = c 2 n + 2 a n b n với mọi n N . Xét dãy ( x n ) xác định bởi x n = a 2 n + b 2 n + c 2 n với mọi n nguyên dương. Chứng minh (a) x n +1 = 2 x 2 n + ( x n 1) 2 2 với mọi n N . (b) ( x n ) có giới hạn hữu hạn khi n + và tìm giới hạn đó. Câu 3. Ghi lên bảng 2018 số nguyên dương đầu tiên: 1 , 2 , 3 , . . . , 2018 . Thực hiện thuật toán sau: mỗi lần cho phép xoá đi hai số a, b mà không có số nào là bội của số kia và thay thế chúng bởi hai số là ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của a, b . Hỏi rằng ta có thể thực hiện thuật toán trên vô hạn lần không? Tại sao? Câu 4. Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn ( O ) , I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi E là giao điểm của BI và AC , F là giao điểm của CI và AB . M, N theo thứ tự là giao BI, CI và đường tròn ( O ) . Đường thẳng BI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BN F tại điểm thứ hai P . Đường thẳng CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CM E tại Q . (a) Chứng minh rằng tứ giác EF P Q nội tiếp một đường tròn. (b) Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC . Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EF P Q nằm trên .TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT CHUYÊN Ngày thi thứ hai: 11-09-2018 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Cho n là số nguyên lớn hơn 1 và ( x 1 , . . . , x n ) là một hoán vị của tập hợp { 1; 2; . . . ; n } (tập hợp gồm n số nguyên dương đầu tiên). Chứng minh rằng n k =1 kx k ( k + x k ) n 2 ( n + 1) 2 2 . Câu 2. Cho các số nguyên m , n lớn hơn 1 thoả mãn trong n số x 2 x với x = 1 , . . . , n không có hai số nào có cùng số dư khi chia cho m . Chứng minh rằng (a) m 2 n 1 . (b) m = 2 n 1 khi m là số nguyên tố lẻ. Câu 3. Với mỗi số nguyên n > 1 , ta gọi một hoán vị ( a 1 , . . . , a n ) của tập hợp { 1; 2; . . . ; n } (tập hợp gồm n số nguyên dương đầu tiên) là tốt nếu | a 1 1 | = | a 2 2 | = = | a n n | 6 = 0 . Chứng minh rằng (a) Không tồn tại hoán vị tốt nếu n lẻ. (b) Nếu n chẵn thì số hoán vị tốt bằng số các ước dương của n 2 . Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn ( O ) . P, Q theo thứ tự là tâm OAB , OAC . R là điểm đối xứng của O qua BC . Gọi X là giao điểm của RB và CP , Y là giao điểm của RC và BQ . Chứng minh rằng BAX = Y AC .