Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Quảng Ngãi

Mô tả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI LỚP 12 NĂM HỌC 2018-2019 Ngày thi: 18/10/2018 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (5,0 điểm). a) Giải phương trình 2 2 3 sin 3 cos 2sin cos (1 2 cos ) tan x x x x x x . b) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 7 3 2 3 5 (4 ) 1 1 4 x y x x xy x y x xy . Câu 2 (3,0 điểm). Cho hàm số 2 1 1 x y x có đồ thị ( C ). Chứng minh rằng với mọi m 2 y x m luôn cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt A và B . Gọi 1 2 , k k lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với ( C ) tại A và B . Tìm m biểu thức 2019 2019 1 2 P k k Câu 3 ( 3,0 điểm ). a) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 1 4 3 7 3 . n n n n C C n Tìm hệ số của số hạng chứa 4 x trong khai triển nhị thức Niu-tơn 2 3 3 2 n x x , 0. x b) Có hai chiếc hộp chứa bi, mỗi viên bi chỉ mang màu xanh hoặc màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp đúng 1 viên bi. Biết tổng số bi trong hai hộp là 20 và xác suất để lấy 55 84 . Tính xác suất để lấy được 2 viên bi màu đỏ. Câu 4 (4,0 điểm). Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết 7 , 7 3 AB a BC a , E là điểm trên cạnh SC và 2 EC ES . a) Tính thể tích khối chóp . E ABC . b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BE . Câu 5 ( 3,0 điểm ). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD và điểm E thuộc cạnh BC . A và vuông góc với AE cắt CD tại F . Gọi M là trung điểm EF , thẳng AM cắt CD tại K . Tìm tọa D biết 6; 6 , A 4; 2 , 3; 0 M K và E có tung độ dương. Câu 6 ( 2,0 điểm ). Cho các số thực không âm , , a b c thỏa , c a c b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 64 8( 1) ( ) ( ) a c b c a P a b b c a c ab bc ca a a b . --------------------------------Hết-------------------------------- Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. SỞ GD-ĐT QUẢNG NGÃI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Môn: TOÁN -Lớp 12 (Đáp án – Thang điểm gồm 5 trang) CÂU NỘI DUNG M Câu 1 (5,0đ) a) (2,0đ). Giải phương trình 2 2 3 sin 3 cos 2sin cos (1 2 cos ) tan x x x x x x . +)Điều kiện 1 cos 2 cos 0 tan 0 x x x . 0,5 Với điều kiện trên 3 sin cos 0 (1) 2sin 3 0 (2) x x Pt x 0,5 +) (1) , 6 x k k 0,5 +) 2 3 (2) , 2 2 3 x k k x k . Kết hợp điều kiện, suy ra nghiệm của phương trình là 6 , 2 2 3 x k k x k . 0,5 b) (3,0đ). Giải hệ phương trình 2 2 2 2 (2 7)( 3 2 3 ) 5 (1) (4 ) 1 1 4 (2) x y x x xy x y x xy . +) ĐK: 2 3 3 0 x x xy . 0,5 +) Từ 2 2 1 1 (2) 4 4 (2') y y x x 0,5 Xét hàm số 2 2 ( ) 4 t, ; 3 f t t t ta có 2 2 '( ) 1 0, 3 4 t f t t t . Suy ra ( ) f t 2 ; 3 . Do đó 1 (2') y x . 0,5 Thay 1 y x vào (1) ta được (2 7)( 3 2 3) 5 x x x (3) 0,5