Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 10 năm 2015 – 2016 sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Mô tả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: TOÁN; Lớp: 10 Thời gian làm bài: 180 phút ( ) Câu 1. a) Giải phương trình x 3 + 4 x 2 + 1 = x ( x + 1) 4 x 2 + 1 . b) Giải hệ phương trình { x 2 ( x 1) = y ( x y 2 ) x 2 + x + 1 = y + y + 1 . Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m m ( x 2 + 6 x ) + 2 x 2 + 8 x 12 = 0 . Câu 3. a) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O có AB = c, BC = a, CA = b. Gọi D là giao điểm của các tiếp tuyến tại B và C của ( O ) . Chứng minh sin DAB sin DAC = c b và AD = bc 2( b 2 + c 2 ) a 2 b 2 + c 2 a 2 . b) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH ( H BC ) và D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Gọi F là điểm đối xứng với B qua E. Giả sử F ( 3; 3) và đường trung trực của CH có phương trình x 1 = 0 . Tìm tọa độ giao điểm M của các đường thẳng HD, F A. Tìm tọa độ giao điểm N của tia CD với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( N 6 = C ), biết đường thẳng đi qua N và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HCF có phương trình x 2 y 1 = 0 . Câu 4. Một vùng đất hình chữ nhật ABCD có AB = 25 km, BC = 20 km và M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Một người cưỡi ngựa xuất phát từ A C bằng cách đi thẳng từ A X thuộc đoạn M N rồi lại đi thẳng từ X C. Vận tốc của ngựa khi đi trên phần ABN M là 15 km/h, vận tốc của ngựa khi đi trên phần M N CD là 30 km/h. Tìm vị trí của X A C là ít nhất? Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất của số nguyên dương n sao cho tồn tại n tam thức bậc hai khác nhau từng đôi một thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: i) mỗi tam thức bậc hai có hệ số của x 2 bằng 1; ii) tổng của 2 tam thức bậc hai bất kỳ có đúng 1 nghiệm. (Hai tam thức bậc hai là khác nhau nếu có ít nhất một hệ số tương ứng khác nhau). - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: .....................................................................; Số báo danh: ..........................1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: TOÁN; Lớp: 10 (Hướng dẫn giải gồm 05 trang) HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 3 2 2 4 1 ( 1) 4 1. x x x x x + + = + + (1) Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 2 (1) 4 1 4 1 4 1 0 4 1 4 1 0 x x x x x x x x x x + + + + = + + = 2 2 2 4 2 2 2 4 1 (do 4 1 0; ) 4 1 0 2 5 (do 0; ) x x x x x x x x x x x x + = + > = = + 1.a 2 5 2 5. x x = + = − + { } 2 5; 2 5 . S = + + 2 2 2 ( 1) ( ) (1) 1 1 (2) x x y x y x x y y = + + = + + 1; 1. x y Khi đó 2 2 2 2 (1) ( )( ) 0 . x y x xy y x y x x xy y x + + = = − + = Với y x = − thì (2) trở thành ( ) 2 2 1 1 1 1 0 2 1 0 1 1 2 0 do 1 1 0; 1 . 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + = − + + + + + = + + = + + = + + > + + + Khi 0 x = thì 0. y = 1.b Với 2 2 x xy y x + = ta có 0. x