Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Hải Dương

Mô tả

S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O H ( thi g m 01 trang) K THI CH N H C SINH GI I T NH L P 12 THPT Năm họ c 2018-2019 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 04 tháng 10 năm 2018 Th i gian làm bài: 180 phút Câu I (2,0 1) Cho hàm số 2 1 1 x y x = + có đồ thị ( ) C . Tìm m : d y x m = − + cắt ( ) C tại hai A và B sao cho PAB ( ) 2;5 P . 2) Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài 25 AB m = , chiều rộng 20 AD m = chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn MN ( , M N lần lượt là trung điểm BC và AD ). Một đội xây dựng làm một con đường A C qua vạch chắn MN , biết khi làm đường trên miền ABMN mỗi giờ làm 15 m và khi làm trong miền CDNM mỗi giờ làm 30 m . Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con A C . Câu II (2 ,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình 2 2 (3 1) 4 4 3 1. 3 4 4 2 3 x y y x xy x x + + = + + = + + + 2) Trong cuộc thi: "Thiết kế và trình diễn các trang phục dân tộc" do Đoàn trường THPT tổ chức vào tháng 3 nă m 2018 với thể lệ mỗi lớp tham gia một tiết mục. Kết quả có 12 tiết mục chọn ngẫu nhiên 5 tiết mục biểu diễn chào mừng 26 tháng 3. Tính xác suất sao cho khối n cũng có tiết mục được biểu diễn và trong đó có ít nhất hai tiết mục của khối 12. Câu III (2 ,0 điểm) 1) Cho dãy số ( ) n u xác định bởi 2 1 1 1 1 1, , 1 n n n u u u n u + + = = . Xét tính đơn điệu và bị chặn của ( ) n u . 2) Tro ng mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD ( / / , ) AB CD AB CD > có AD DC = , (3;3) D . AC có phương trình 2 0 x y = , đường thẳng AB ( 1; 1) M . Viết phương trình đường thẳng BC . Câu IV (3 ,0 điểm) Cho hình hộp đứng . ’ ’ ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông . 1) Gọi S là tâm của hình vuông ' ' ' ' A B C D . SA , BC có trung điểm lần lượt là M và N . Tính thể tích của khố i chóp . S ABC theo a , b iết MN tạo với mặt phẳng ( ) ABCD một góc bằng 60 0 và AB a = . 2) Khi ' AA AB = . G , R S lần lượt nằm trên các đoạn thẳng , A D CD sao cho RS vuông góc với mặt phẳng ( ' ') CB D và 3 3 a RS = . Tính thể tích khối hộp . ’ ’ ABCD A B C D theo a . 3) Cho ' AA AB a = = . Gọi G là trung điểm ' BD , m ( ) mp P thay đổi luôn đi qua G cắt các ', ', ' ' AD CD D B tương ứng tại , , H I K . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 ' . ' ' . ' ' . ' T D H D I D I D K D K D H = + + . Câu V (1,0 điểm) Cho các số dương , , a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 1 6 P a ab abc a b c = + + + + . --- Hết --- Họ và tên thí si nh: ........................................................ ............... Số báo dan h: ......................... Chữ kí giám thị coi thi số 1: ..... ............................. Chữ kí giám thị coi thi số 2: .... ..................... S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O H HƯỚNG DẪN CHẤM THI CH N H C SINH GI I T NH L P 12 THPT Năm họ c 2018-2019 Môn thi: TOÁN ( Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) Câu N i dung m Câu I.1 1,0 đ Cho hàm số 2 1 1 x y x = + có đồ thị ( ) C . Tìm m : d y x m = − + cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho PAB ( ) 2;5 P . hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị ( ) C là nghiệm phương trình 2 1 1 x x m x = − + + ( ) 2 ( 3) 1 0 1 x m x m = ( 1 x = − không là nghiệm của (1)) 0,25 d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( ) 1 có hai nghiệm phân biệt 2 0 2 13 0 m m m + > 0,25 Gọi 1 2 , x x là các nghiệm của phương trình (1), ta có: 1 2 1 2 3 1 x x m x x m + = = − Giả sử ( ) 1 1 ; A x x m + , ( ) 2 2 ; B x x m + Khi đó ta có: ( ) 2 1 2 2 AB x x = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 2 5 2 2 PA x x m x x = + − + = + , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 5 2 2 PB x x m x x = + − + = + Suy ra PAB cân t P 0,25 Do đó PAB 2 2 PA AB = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 4 6 8 0 x x x x x x x x x x + = + + + = 2 1 4 5 0 5 m m m m = + = = − . Vậy giá trị cần tìm là 1, 5 m m = = − . 0,25 Câu I.2 1,0 đ Một mảnh hình chữ nhật ABCD có chiều dài 25 AB m = , chiều rộng 20 AD m = MN ( , M N lần lượt là trung điểm BC và AD ). Một đội xây dựng làm một con đường A C qua vạch chắn MN , biết khi làm đường trên miền ABMN mỗi giờ làm 15 m và khi làm trong miền CDNM mỗi giờ làm 30 m . Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ A C . Giả sử con tại E 2 2 ( )( [0; 25]) 10 ; NE x m x AE x = = + 2 2 (25 ) 10 CE x = + 0,25 Thời gian làm đường 2 2 (25 ) 100 100 ( ) ( ) 15 30 15 30 x AE CE x t x h + + = + = + 0,25 2 2 (25 ) '( ) ; 15 100 30 (25 ) 100 x x t x x x = + + 0,25 x 25m 20m N D M B C A E