Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 năm học 2016 – 2017 sở GD và ĐT Vĩnh Phúc

Mô tả

S GD&ĐT VĨNH PHÚC K THI CH N HSG L P 1 0 , 11 THPT NĂM H C 201 6 - 201 7 THI MÔN: TOÁN 11 - THPT CHUYÊN Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát đ . Câu 1 (3,0 m). Cho dãy s th c n x c xác nh b i 0 1 1 1; 20 7 x x và 1 2 1 ( 1) n n n x nx n x v i m i 1. n V i m i s nguyên dương , n t n n y nx và 1 1 . n k n k k x z x a. Ch ng minh r ng n y là dãy s gi m. b. Tìm gi i h n c a dãy . n z Câu 2 (2,0 m). Cho ba s th c , , 2 a b c th u ki n 1 1 1 8. a b c a b c Ch ng minh r ng 9 3 . a b c ab bc ca Câu 3 (3,0 m). Cho tam giác ABC cân t i A . G i D là trung điể m c nh AC và M là trung m c nh BC . Đoạ n th ng AM c ng tròn ngo i ti p tam giác BCD t m E . Đườ ng th ng BD c ng tròn ngo i ti p tam giác ABE t m F khác B . Đườ ng th ng AF c t ng th ng BE t i I , đườ ng th ng CI c ng th ng BD t i K . a. Ch ng minh r ng . DA DF b. Ch ng minh r ng I là tâm đườ ng tròn n i ti p tam giác ABK . Câu 4 (1,0 m). M t s nguyên dương a c g i là s k - phương , 2 k k n u t n t i s nguyên dương b sao cho k a b . Cho c p s c ng 0 n n a v i các s h ng là s nguyên dương và có công sai bằ ng 2017. Bi t r ng có hai s h ng m a và n a c a c p s c ng tương ứ ng là s i - phương và số j - phương, trong đó , 1. i j Ch ng minh r ng t n t i m t s h ng c a c p s c ng là s ij - phương . Câu 5 (1,0 m). Cho S là m t s nguyên dương sao cho S chia h t cho t t c các s nguyên dương từ 1 đế n 2017. Xét k s nguyên dương 1 2 , ,..., k a a a (không nh t thi t phân bi t) thu c t p h p 1,2,...,2017 th a mãn 1 2 ... 2 . k a a a S Ch ng minh r ng ta có th ch n ra t các s 1 2 , ,..., k a a a m t vài s sao cho t ng c a chúng b ng . S -------H t------- Thí sinh không đượ c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm. H và tên thí sinh: ..........................................................; S báo danh: ........................... . CHÍNH TH CS GD&ĐT VĨNH PHÚC K THI CH N HSG L P 10 , 11 THPT NĂM H C 201 6 - 201 7 11 - THPT CHUYÊN I. LƯU Ý CHUNG: - Hướ ng d n ch m ch trình bày m t cách gi i v i nh n ph i có. Khi ch m bài h c sinh làm theo cách khác n m t - n 0,25 và không làm tròn. - V i bài hình h c n u thí sinh không v hình ph ng v i ph II. ĐÁP ÁN: Câu N i dung trình bày m 1 a ( 2,0 m) Ta th y ngay 0, 0. n x n 0,5 Ta có 2 1 1 ( 1) ( 1) 0, 1. 1 ( 1) 1 ( 1) n n n n n n n n n n n x nx y y nx n x nx n n x n x 1,0 Suy ra dãy n y gi m. 0,5 b ( 1,0 m) Dãy n y gi m và 0, n y n nên n y h i t . t lim 0. n n y a Ta có 1 0 lim lim lim . 1 1 ( 1) 1 1 ( ) n n n n n n n n n nx nx y y n n x a a nx n Do đó 0. a 0, 2 5 T gi thi t suy ra 2 1 1 1 1 ( 1) ( 1) . n n n n n n n n x x n x x nx nx n x x 0,2 5 Do đó 1 1 1 1 2 1 0 1 0 4034 , 1. n n k k n n k k k k n x x x x y z x n x x x x nx 0, 2 5 V y 4034. lim n n z 0,25 2 ( 2,0 m ) t x a b c . Ta có 1 1 1 9 9 8 8 . a b c x a b c a b c x 0,5 2 8 9 0 9. x x x V y b t đ ng th c th nh t đư c ch ng minh . 0,5 Ta có 2 2 2 2 2 2 2 16 19 2 (1) a b c x x a b c a b c ng b t đ ng th c Cauchy - Schwazt ta đư c: 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2 (2) 2 2 2 2 a b c x a b c a b c a a b b c c a b c x 0,25 T (1) và (2) suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 19 2 2 (3). 2 19 2 x x x a b c x a b c x x 0,25 BĐT th hai tương đương v i 2 2 2 2 27 54 ab bc ca a b c a b c 2 2 2 2 54. a b c x 0,25 (Đáp án có 04 trang)