Đề thi chọn HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường THPT Thị xã Quảng Trị

Mô tả

SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 10, 11 TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ Khóa thi ngày 03 tháng 4 năm 2019 Môn thi: Toán lớp 11 Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian giao Câu I (5,0 điểm). 1. Giải phương trình: 2 2 sin 3 cos 2 sin 0. x x x 2. Cho 1 x và 2 x là hai nghiệm của phương trình: 2 3 0 x x a , 3 x và 4 x là hai nghiệm của phương trình: 2 12 0 x x b . Biết rằng 1 2 3 4 , , , x x x x theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm , a b . Câu II (3,0 điểm). 1. Cho k là số tự nhiên thỏa mãn: 5 2014 k . Chứng minh rằng: 0 1 1 5 5 5 2014 5 2014 5 2014 2019 ... k k k k C C C C C C C . 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 2 2 4 2 2 1 1 2 2 1 1 1 m x x x x x . Câu III (3,0 điểm). Cho dãy số n u 1 1 2 sin sin1; n n n u u u n , với , 2 n n . Chứng minh rằng dãy số n u xác định như trên là một dãy số bị chặn. Câu IV (3,0 điểm). Cho tứ diện A BCD có tam giác A BC a và tam giác BCD cân tại D với 5 2 a DC . 1. Chứng minh rằng: A D BC . 2. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD , tính cosin góc giữa hai đường thẳng A G và CD , biết góc giữa hai mặt phẳng ( ) A BC và ( ) BCD bằng 0 30 . Câu V (3,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác A BC với (2;1) A , (1; 2) B , trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 2 0 x y . Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 27 2 . Câu VI (3,0 điểm). Cho các số dương , , a b c thỏa mãn: 2 2 2 3 a b c . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 1 1 1 3 a b c a b b c c a . Đẳng thức xảy ra khi nào? -----------------HẾT--------------------- Thí sinh không c s d ng tài li u và MTCT. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ..................................... Số báo danh: ................... (Đề có 01 trang)Huớng dẫn chấm – Toán 11 Câu Nội dung Câu I. (5đ) Giải phương trình: 2 2 sin 3 cos 2 sin 0. x x x 1. (3đ) 2 2 sin 3 cos 2 sin 0 x x x (1) Ta có: sin 3 (1 2 cos 2 ) s inx. x x 2 2 2 2 (1) ((1 2 cos 2 ) cos2 1) sin 0 (1 os2x)(1+4cos 2 ) sin 0 sin 0 cos2x=-1 2 x x x c x x x k x 1.0đ 1.0đ 1.0đ 2. (2đ) Cho 1 x và 2 x là hai nghiệm của phương trình: 2 3 0 x x a , 3 x và 4 x là hai nghiệm của phương trình: 2 12 0 x x b . Biết rằng 1 2 3 4 , , , x x x x theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm , a b . Gọi q là công bội của CSN 2 3 2 1 3 1 4 1 ; ; x x q x x q x x q Theo viet ta có: 1 1 2 1 2 1 2 2 3 4 1 3 4 3 4 (1 ) 3 3 12 (1 ) 12 x q x x x x a x x a x x x q q x x b x x b Suy ra 2 4 q + q = 2 1 1 x , giải ra được a = 2, b = 32 +q = -2 1 3 x , giải ra được a = -18, b = -288 1.0đ 1.0đ Câu II. (3đ) 1. (1.5đ) Cho k là số tự nhiên thỏa mãn: 5 2014 k Chứng minh rằng: 0 1 1 5 5 5 2014 5 2014 5 2014 2019 ... k k k k C C C C C C C Ta có: 5 2014 2019 (1 ) (1 ) (1 ) x x x 5 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 2014 0 1 2013 2013 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2019 0 1 2018 2018 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 (1 ) (1 ) ... ... (1 ) ... ... k k k k M x C C x C x C x C x C x N x C C x C x C x C x P x C C x C x C x C x Ta có hệ số của x k trong P là 2019 k C , P = M.N Mà số hạng chứa x k trong M.N là : 0 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 2014 5 2014 5 2014 5 2014 5 2014 5 2014 k k k k k k k k k k k k C C x C xC x C x C x C x C x C x C x C x C x Vậy : 0 1 1 5 5 5 2014 5 2014 5 2014 2019 ... k k k k C C C C C C C 0.5đ 0.5đ 0.5đ 2. (1.5đ) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 2 2 4 2 2 1 1 2 2 1 1 1 m x x x x x 1 1 x , Đặt 2 2 1 1 t x x , t liên tục trên 1;1 và 0 t 2 4 2 2 1 2 0; 2 t x t Pttt: 2 2 2 ( 2) 2 2 t t m t t t m t Xét 2 2 ( ) ; 0; 2 2 t t f t t t , ( ) f t liên tục trên 0; 2 2 2 4 '( ) 0, 0; 2 ( 2) t t f t t t 0.5đ 0.5đ