Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm 2021 – 2022 cụm trường THPT – Hà Nội

Mô tả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 11 NĂM HỌC 202 1 - 202 2 Môn thi: TOÁN Th i gian l à m b à i : 15 0 ph ú t Bài I ( 5,0 điểm) 1) Giải các phương trình sau : a) sin 2 4 cos sin 2 0; x x x b) sin cot 2 cos 3 . x x x 2) Giải hệ phương trình 5 2 2 5. 2 1 x y x y x y x y Bài II ( 3 ,0 điểm) 1) Tìm s t nhiên x th a mãn 2 2 3 2x 1 6 10 2 x x A A C x . 2) Tìm h s c a 5 x trong khai tri n 5 3 2 2 . x x 3) H i có bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s trong đó có ít nh t m t ch s 1 . Bài III (4,0 điểm ) Cho dãy số n u thoả mãn 1 1 1, 3 2 , 1 n n u u u n . 1) Chứng minh d 1 n u là một cấp số nhân , tính 50 . u 2) Chứng minh 1 2 100 1 1 1 3 ... 1 1 1 4 u u u . 3 ) Tìm công thức tổng quát của dãy số 1 1 1; , 1 2 3 n n n v v v n v . Bài IV ( 2 ,0 điểm) Tính giới hạn 3 1 2 1 3 2 lim . 1 x x x x Bài V ( 6 ,0 điểm) Cho hình hộp . ' ' ' ' ABCD A B C D có các góc 0 ' ' 60 BAD DAA BAA và tất cả các cạnh bằng . a 1) Ch ng minh ' ' ' BA B C và tính đ dài c nh ' AC theo . a 2) L y các m , , M N P th a mãn 0, MA MB 2 0, NB NC 2 ' 0. PC PC D ng thi t di n c a hình h p . ' ' ' ' ABCD A B C D c t b i m t ph ng ( ). MNP 3) M t ph ng ( ) MNP c t đư ng th ng ' D B t i . I Tính t s ' . D I BI - - - - - - - - - - H t - - - - - - - - - Họ và tên thí sinh:............... .............................. ....... Số báo danh:......... ... ......................................SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT HƯỚNG DẪN CHẤM KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 11 NĂM HỌC 202 1 - 202 2 Môn thi: TOÁN Bài Câu Nội dung iểm 1 (5,0đ) 1a sin 2 4 cos sin 2 0 (sin 2)(2 cos 1) 0 x x x x x sin 2 1 cos 2 x x 1,0 +) sin 2( ) x l +) 1 cos 2 . 2 3 x x k 1,0 1b sin 2 0 . 2 k x x 0,25 sin cot 2 cos 3 sin . cos2 cos 3 .sin2 x x x x x x x 1 1 (sin 3 sin ) (sin 5 sin ) 2 2 x x x x 1,0 5 3 2 sin 3 sin 5 5 3 2 8 4 x k x x k x x k x x k x 0,5 Kết hợp điều kiện 2 k x suy ra 8 4 k x . Vậy nghiệm của phương trình là 8 4 k x . 0,5 2 2 2 2 2 2 2 5 2 5 2 2 ( 0, 0) 2 5 2 2 x y a x y a x a b a b x y b y b a x y b 0, 2 5 Khi đó hệ phương trình trở thành 2 2 2 2 2 2 5 5 2 (5 2 ) 1 3(5 ) 7 1 0 a b a b b a b b a b b b 2 5 4 29 74 0 a b b b 2, 3 37 ( ) 4 b a b l 0,5 Với 5 2 9 1 2, 3 2 4 2 x y x b a x y y Vậy hệ có nghiệm là 1; 2 0,25