Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Phú Yên

Mô tả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN TOANMATH.com KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT MÔN TOÁN – LỚP 12 NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 06/10/2020 Câu 1: (3,0 điểm) Giải phương trình 4 3 2 3 2 11 x x x . Câu 2: (3,0 điểm) Cho hệ phương trình 2 2 2 2 , 4 xyz z a xyz z b a b x y z . Tìm tất cả các giá trị của , a b trình có nghiệm duy nhất. Câu 3: (4,0 điểm) a) Cho tam thức bậc hai 2 ( ) ( , , , 0) f x ax bx c a b c a có hai nghiệm 1 2 , x x thuộc 0;1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( )(2 ) ( ) a b a b A a a b c . b) Cho , , a b c là các số dương. Chứng minh rằng: 3 9 6 a b c abc b c a a b c . Câu 4: (5,0 điểm) a) Cho điểm M tùy ý nằm bên trong tam giác ABC . Gọi 1 S , 2 S , 3 S lần lượt là diện tích của các tam giác MBC , MAC , MAB . Chứng minh rằng 1 2 3 . . . 0 S MA S MB S MC . b) Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol 2 : P y x px q với 0 q . Biết rằng P cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt , A B và cắt trục Oy tại C . Chứng minh rằng khi p và q thay ABC luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5: (3,0 điểm) Cho dãy số n u xác định bởi : 2 1 1 2; 2 1 n n n u u u u , với 1.2.3... n . a) Chứng minh rằng dãy số n u giảm và bị chặn. b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số n u . Câu 6: (3,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số : f thỏa mãn điều kiện: 2020 2019 f x f y x y f , , x y . ____________________ HẾT ____________________HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Giải phương trình 4 3 2 3 2 11 x x x . Lời giải 3 3 2 x * . Với điều kiện * phương trình đã cho tương đương với phương trình: 4 3 7 2 3 2 2 0 x x x x 2 2 4 3 7 3 2 2 2. 0 4 3 7 3 2 2 x x x x x x x x 2 2 2 1 2 1 2. 0 4 3 7 3 2 2 x x x x x x x x 2 1 2 1 0 4 3 7 3 2 2 x x x x x . Với 3 3 2 x thì 4 3 7 0 x x , 2 1 3 2 2 3 2 1 0 2 x x x . Từ đó suy ra: 1 2 0 4 3 7 3 2 2 x x x x , 3 3; 2 x . Từ phương trình trên ta được: 1 0 1 x x . Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 1 S . Câu 2: Cho hệ phương trình 2 2 2 2 , 4 xyz z a xyz z b a b x y z . Tìm tất cả các giá trị của , a b trình có nghiệm duy nhất. Lời giải Giả sử 0 0 0 , , x y z là nghiệm của hệ phương trình, khi đó 0 0 0 , , x y z cũng là nghiệm. Do đó 0 0 0 0 0 0 x x y y z z 0 0 0 0 0 x y z z . Từ hệ phương trình: 2 2 2 4 x y z 2 4 z z a z b , 2, 2 , 2, 2 a b . Trường hợp 1: 2 2 a b Ta có : 2 2 2 xyz z xyz z 0 1 xyz z 0 1 xyz z . Với 1 z ta có : 2 2 1 3 xy x y 1 5 5 1 , ; 2 2 x y hoặc 5 1 1 5 , ; 2 2 x y . 2 2 a b thì hệ phương trình có 2 nghiệm (loại). Trường hợp 2: 2 2 a b Ta có : 2 2 2 xyz z xyz z 0 1 xyz z 0 1 xyz z .