Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2021 – 2022 phòng GD&ĐT quận Hai Bà Trưng – Hà Nội

Mô tả

UBND QU N HAI BÀ TRƯNG PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀO T O CHÍNH TH C THI H C SINH GI I CÁC MÔN VĂN HÓA VÀ MÔN KHOA H C C P QU N MÔN: TOÁN 9 Năm h c: 2021 - 2022 Ngày thi: 17 /02/2022 Th i gian: 150 phút (không k th i gian phát đ ) Bài I. (5,0 m) 1) Gi i phương trình: 2 4 3 1 6 0 x x x . 2) Cho , , x y z là các s th c khác 0 và th a mãn đi u ki n: 0. xy yz zx Tính giá tr c a bi u th c . x y y z z x A z x y Bài II. ( 5 ,0 đi m) 1) Cho a , b , c là các s nguyên tho mãn 3 3 3 2021 . a b c Ch ng minh a + b + c chia h t cho 6 . 2) Tìm các s nguyên , x y th a mãn 3 2 2 5 0. x x y x y Bài III. ( 2 ,0 m) Cho các s th c , x y th a mãn 2 . x x y y Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c 1 1 P x y x y Bài IV. (6,0 đi m) Cho tam giác ABC nh n, n i ti p đư ng tròn O ng kính . AK C ng cao , , AD BE CF c t nhau t i H . Đư ng th ng EF c t ng tròn O t i hai đi m , P Q ( P và C khác phía đ i v i AB ). G i M là trung đi m BC . 1) Ch ng minh t giác BHCK là hình bình hành, t . OAC BAH 2) Ch ng minh 2 2 . . AP AD OM 3) Dây KQ c t BC t i L . Ch ng minh , AL HQ c t nhau t i m t m n m trên đư ng tròn ngo i ti p tam giác AEF . Bài V. (2 ,0 đi m) 1) Cho x là s nguyên dương. Tìm t t c s nguyên dương n 2 4 1 n x x là s chính phương. 2) Trong bu i l tuyên dương h c sinh tiêu bi u l p 9 c a qu n H ai Bà Trưng , có 20 h c sinh nam và 22 h c sinh n c a các trư ng đư c vinh d tham gia . Ngư i ta nh n th y trong các h c sinh đó: Không có h c sinh nam nào quen t t c các h c sinh n M i h c sinh n quen ít nh t m t h c sinh nam Ch ng t r ng: T n t i hai h c sinh nam A, B và hai h c sinh n M, N sao cho A và M quen nhau, B và N quen nhau, nhưng A và N không quen nhau, B và M không quen nhau. ----- H T ----- Lưu ý: Cán b coi thi không gi i thích gì thêm . H và tên : ...................... ............................... ........ S báo danh: ..... ........... .. .. Trư ng THCS ... ....... ............. . .................UBND QU N HAI BÀ TRƯNG PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀO T O CHÍNH TH C HƯ NG D N CH M THI H C SINH GI I CÁC MÔN VĂN HÓA VÀ MÔN KHOA H C C P QU N MÔN: TOÁN, L P 9 Năm h c: 2021 - 2022 Ngày thi: 17 /02/2022 Th i gian: 150 phút (không k th i gian phát đ ) (Hư ng d n ch m g m 4 trang) Bài I. (5 đi m) 1) (2,5 đi m) Gi i phương trình: 2 4 3 1 6 0 x x x . 1. 3 x (0,5 đi m) Ta vi t l i phương trình thành: 2 2 1 3 1 4 3 1 4 0 x x x x 2 2 1 3 1 2 0 x x (1 ,0 m) 2 2 1 0 1 3 1 2 0 x x x . (TM ĐKXĐ) (1 ,0 m) 2) (2,5 đi m) . Tính giá tr c a bi u th c: . x y y z z x A z x y Ta có: 3 x y y z z x x y z x y z x y z A z x y z x y (0,5 đi m) T n đ i đư c 1 1 1 3 A x y z x y z (0,5 đi m) V i gi thi t z 0 xy yz x ta có z . 3 3. xy yz x A x y z xyz ( 0,5 m) Bài II. (5 đi m) 1) (2,5 đi m) Ch ng minh a + b + c chia h t cho 6 . Ta có: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2021 2022 6 6 a b c a b c c a b c (0,5 đi m) M t khác, ta d dàng ch ng minh đư c n 3 - n M 6 ( 1 , 0 m) T a 3 + b 3 + c 3 - a + b + c ( ) = a 3 - a ( ) + b 3 - b ( ) + c 3 - c ( ) M 6 Do đó a + b + c chia h t cho 6 . ( 1 , 0 m) 2) (2,5 đi m) Tìm các s nguyên , x y th a mãn 3 2 2 5 0. x x y x y