Đề thi HSG tỉnh Toán 10 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Hải Dương

Mô tả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN THI: TOÁN Th i gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 03/4/2019 ( thi g m 01 trang ) Câu I (2,0 điểm) 1) Cho hàm số 2 4 3 y x x có đồ thị ( ) P . Tìm giá trị của tham số m ( ) : m d y x m cắt đồ thị ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 1 1 2 x x . 2) Cho hàm số 2 ( 1) 2 2 y m x mx m ( m là tham số). Tìm m trên khoảng ( ; 2) . Câu II (3,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 12 0 x y x xy y x y x y x x 2) Giải phương trình 2 ( 3) 1 4 2 6 3 x x x x x x . 3) Giải bất phương trình 3 2 (3 4 4) 1 0 x x x x . Câu III (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn 3 0 NB NC . Gọi P là giao điểm của A C và GN , tính tỉ số PA PC . 2) Cho tam giác nhọn A BC , gọi , , H E K lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh , , A B C . Gọi diện tích các tam giác A BC và H EK lần lượt là A BC S và H EK S . Biết rằng 4 A BC HEK S S , chứng minh 2 2 2 9 sin sin sin 4 A B C . 3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A BC cân tại A . Đường thẳng AB có phương trình 3 0 x y , đường thẳng A C có phương trình 7 5 0 x y . Biết điểm (1;10) M thuộc cạnh BC , tìm tọa độ các đỉnh , , A B C . Câu IV (1,0 điểm) Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ . Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất? Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn 3 x y yz xz . Chứng minh bất đẳng thức 2 2 2 3 3 3 1 8 8 8 x y z x y z . ........................................ Hết ...................................... Họ và tên thí sinh: ....................................................................... Số báo danh: ..................................................... Giám thị coi thi số 1: ............................................... Giám thị coi thi số 2: ............................................................ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THPT – NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN ( H ng d n ch m g m 6 trang ) Câu Nội dung Câu I.1 1,0đ Cho hàm số 2 4 3 y x x có đồ thị ( ) P . Tìm giá trị của tham số m thẳng ( ) : m d y x m cắt đồ thị ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 1 1 2 x x . Phương trình hoành độ giao điểm 2 2 4 3 5 3 0 x x x m x x m (1) 0,25 ( ) m d cắt đồ thị ( ) P tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 13 0 13 4 0 4 m m . 0,25 Ta có 1 2 1 2 5 3 x x x x m 0,25 1 2 1 2 1 2 1 2 2 5 2(3 ) 1 1 1 2 0 3 2 x x x x m m x x m x x (thỏa mãn) 0,25 Câu I.2 1,0 đ Cho hàm số 2 ( 1) 2 2 y m x mx m ,( m là tham số). Tìm m biến trên khoảng ( ;2) . Với 1 2 3 m y x . Hàm số nghịch biến trên . Do đó 1 m thỏa mãn. 0,25 Với 1 m . Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;2) khi và chỉ khi 1 0 2 1 m m m 0,25 1 2 m . 0,25 Vậy 1 2 m 0,25 CâuII.1 1,0 đ Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 3 3 2 1 2 12 0 2 x y x xy y x y x y x x 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 3( ) 3( ) 2 3( ) 3 3 2 x y x xy y x y x y x xy y x y x y x y x y x y 0,25 3 2 3 2 3 3 3 3 1 3 3 1 ( 1) ( 1) 1 1 2 x x x y y y x y x y y x 0,25 Thế 2 y x vào phương trình (2) ta có 2 2 3 2 ( 2) 2 12 0 2 12 0 x x x x x x x . 0,25 2 ( 3)( 2 4) 0 3 1 x x x x y . Hệ có nghiệm 3 1 x y 0,25