Đề thi HSG Toán 11 năm 2020 – 2021 trường THPT Lưu Hoàng – Hà Nội

Mô tả

SỞ GIÁO DỤC VÀ TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG NĂM HỌC 2020 2021 Môn thi: Toán - Lớp: 11 (Thời gian làm bài: 12 0 phút, không kể thời gian giao đề) Câu 1 (5 ). Cho phương trình: cos 2 x 2cosx + m = 0 (1), (với m là tham số). a) Giải phương trình với m = -3. b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x thuộc đoạn [0; /2]. Câu 2 (5 ). a) Trong m ph t Oxy. Cho hàm số 3 2 2 x x y có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến v th (C) , biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. b) Cho đa giác đều 18 cạnh. Nối tất cả các đỉnh với nhau. Chọn hai tam giác trong số các tam giác vuông tạo thành từ 3 đỉnh trong 18 đỉnh. Tính xác suất để chọn vi. Câu 3 ( 5 ). a) Cho dãy số (u n ) thỏa mãn: 2 2 1 2 5 2 1 1 n n n u u u u *) ( N n . Tìm n k k u 1 1 lim . b) Một người tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội của công ty Bảo Việt với thể lệ như sau: Cứ đến tháng 9 hàng năm người đó đóng vào công ty là 12 triệu đồng với lãi suất hàng năm không đổi là 6% / năm. Hỏi sau đúng 18 năm kể từ ngày đóng, người đó thu về được tất cả bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hai chữ số phần thập phân). Câu 4 ( 4 ). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa SB và mặt đáy bằng 0 60 . Gọi N là trung điểm của BC. a) Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SD và AN. b) Gọi H, K là hai điểm lần lượt thuộc các đường thẳng SB và DN sao cho HK SB, HK DN. Tính độ dài đoạn HK theo a. Câu 5 ( 1 ). Cho x, y R thoả mãn: x 2 + y 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = 1 2 2 ) 6 ( 2 2 2 y xy xy x . ---------- HẾT ---------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: ...................................... Số báo danh: ................ Chữ ký giám thị coi thi số 1: Chữ ký giám thị coi thi số 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN H N 2021 Môn thi: Toán - Lớp: 11 I. Hướng dẫn chung 1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2. Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Ban chấm thi. 3. Thang điểm được tính đến 0,25. Sau khi cộng điểm toàn bài, không làm tròn . II. Đáp án và thang điểm Câu Câu 1 (5 điểm) a) Với m = - 3, phương trìn h có dạng: cos 2 x 2cosx 3 = 0 0.5 cos 1 (N) cos 3 (L) x x 0.5 Với cosx = - 1 2 (k Z) x k . 0.5 Vậy phương trình có họ nghiệm là: 2 (k Z) x k 0.5 b) Đặt t = cosx, x [0; /2] t [0; 1 ]. 0 . 5 Khi đó phương trình đã cho m = - t 2 + 2t, t [0; 1] (*). 0 . 5 Xét hàm số: f(t) = - t 2 + 2t, t [0; 1]. 1 . 0 x [0; /2] phương trình (*) có nghiệm t [0; 1] 0 1 m . Vậy m [0; 1] . 1 . 0 Câu 2 (5 a) 1.0 1.0 (vì qua gốc tọa độ O). 0.5 0.5 a) Gọi A là biến cố: Chọn hai tam giác trong số các tam giác vuông tạo thành từ 3 Giả sử đa giác đều đã cho nội tiếp đường tròn (C) . Vì tam giác vuông tạo th vuông đó có cạnh huyền là đường chéo của đường tròn (C). 0.5 Suy ra số tam giác vuông tạo thành từ 3 đỉnh trong 18 đỉnh của đa giác đều là: 9.16=144 2 144 ( ) n C 0.5 Vì hai tam gi nên hai tam giác này có cùng chu vi khi và chỉ khi chúng là hai tam giác bằng nhau. Trong 144 tam giác vuông này chia đều thành 4 nhóm tam giác bằng nhau có chu vi của mỗi tam giác ở hai nhóm khác nhau là khác nhau 2 36 ( ) 4 n A C . 0.5 2 36 2 144 4 ( ) 35 ( ) ( ) 143 C n A P A n C 0.5