Đề thi HSG Toán 12 cấp trường năm 2021 – 2022 trường chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương

Mô tả

S GD - I DƯƠNG Trư ng THPT chuyên Nguy n Trãi THI H C SINH GI I L P 12 C P TRƯ NG NĂM H C 202 1 - 202 2 Th i gian làm bài: 180 phút Môn: Toán Câu 1 . ( 2 m) Cho dãy số 1 n n u xác định bởi 1 1 3 0, 1 . 5 n n n u u u n u a) Chứng minh rằng dãy 1 n n u có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. b) Đặt 1 1 3 n n k k T u . Tìm lim . 5 4 n n T n Câu 2 . ( 2 m) Tìm tất cả các hàm số : f sao cho: 2018 2017 ( ), , . f y f x f x y yf x x y Câu 3 . ( 2 m ) Có bao nhiêu cách lát kín b ng 2 2022 b i các viên domino 1 2 và 2 1 ? Câu 4 . (2 đi m) Cho tam giác nhọn ABC với AB BC . Cho I là tâm nội tiếp của tam giác ABC và là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại K . thẳng AK cắt tại điểm thứ hai T . Cho M là trung điểm của BC và N là điểm chính giữa cung BC chứa A của . NT cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC P . Chứng minh rằng a) Cho KI c t ( ) BIC t i đi m th hai X thì ; ; N T X th ng hàng. b) PM AK . C 5 . ( 2 m) Cho dãy số 1 . n n x a x n ; * o x ; a là nghiệm dương của phương trình 2 1 0 x kx ( ; 1 k k ) với số nguyên dương k cho trước. Khi đó chứng minh rằng 1 1 1 (mod ) n n x x k . Giải Câu 1 :a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo * n , dãy 1 n n u bị chặn trên bởi 1 và là một dãy tăng. +) Ta có 1 1. u Giả sử 1 n u * . n Vì hàm 3 5 x f x x là đồng biến trên khoảng ( ;1) nên 1 1 1 1. n n n u u f u f Vậy 1 n u với mọi * . n +) Ta có 2 1 3 5 u u . Giả sử 1 2 . n n u u n Do 1 , 1 n n u u và f là đồng biến trên khoảng ( ;1) nên 1 1 . n n n n u f u f u u Vậy dãy 1 n n u tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn. +) Đặt lim 1 . n n u a a Suy ra 1 3 . 3 5 a a a a a Vậy lim 1. n n u b) Ta có 1 1 1 4( 3) 1 1 2 3 1 2 . 5 3 4 3 k k k k k u u k u u u 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 3 3 4 3 n n n k k k k T n u u u 1 1 1 1 . 12 4 2 3 n n n T u Suy ra 1 1 1 1 lim . 6 2 3 5 4 10 n n n n T T n u n Câu 2 : Giả sử hàm số ( ) f x thỏa mãn yêu cầu bài toán. +)Trong (1) thay y bởi ( ) f x ta có : 2018 2 0 ( ) 2017( ( )) , (2). f f x f x f x x +)Trong (1) thay y bởi 2018 x ta có : 2018 2018 ( ) 0 2017 ( ), (3). f x f x f x f x x Từ (2) và (3) suy ra 2018 ( ( ) ) 0, (4). f x f x x x Vậy nếu có 0 x sao cho 0 ( ) 0 f x thì 2018 0 0 ( ) . f x x Vậy 0 0. f Dễ thấy có hai hàm số 1 ( ) 0 f x và 2018 2 ( ) , f x x x th a mãn (4).