Đề thi HSG Toán 12 THPT cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Quảng Bình

Mô tả

S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O T NH QU NG BÌNH ( thi có 01 trang và 05 câu ) K THI CH N H C SINH GI I C P T NH NĂM 2019 - 2020 Môn thi: TOÁN L P 12 THPT Th i gian: 180 phút (không k th ) Câu 1 ( 2,0 điể m ) . a. Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s sin cos 1 2 sin 2 x x y x . b. Cho hàm s 1 x y x có đồ th C và điể m 1;1 A . Tìm các giá tr c ng th ng : 1 d y mx m c th C t m phân bi t , M N sao cho 2 2 AM AN t giá tr nh nh t. Câu 2 ( 2,0 điể m ) . a. Cho hàm s 1 1 2019 x f x . Tính t s P Q , v i ' 1 2 ' 2 ... 2019 ' 2019 P f f f và ' 1 2 ' 2 ... 2019 ' 2019 Q f f f . b. Gi 2 2 log 3 log 3 1 1 x x . Câu 3 ( 2,0 đi m ). a. Cho tam giác đề u ABC c nh 8cm. Chia tam giác này thành 64 tam giác u c nh 1cm b ng th ng song song v i các c hình v ). G i S là t p h nh c a các tam giác c nh 1cm. Ch n ng u nhiên 4 đỉ nh thu c S . Tính xác su c ch n l nh c a hình bình hành n m trong mi n trong c a tam giác ABC và có c nh ch a các c nh c a các tam giác c nh 1 cm trên. b. Tìm công sai d c a c p s c ng n u có t t c các s h a mãn: 1 2 2020 1 2 1010 2 2 2 3 3 3 5 3 14 ... 4 ... log log log 2 u u u u u u u u u . Câu 4 ( 3,0 điể m ). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạ nh a, SA ( ABCD ), SA = a . M t m t ph ng qua CD c t SA, SB l t t i M, N . Đặ t AM = x , v i 0 x a . a. T giác MNCD là hình gì? Tính di n tích t giác MNCD theo a và x . b. Xác đị nh x th tích kh i chóp S.MNCD b ng 2 9 l n th tích kh i chóp S.ABCD . Câu 5 ( 1,0 m ) . a. Cho các s th c phân bi t , 1 a b . Ch ng minh r ng: log log log log a a b a b b . b. Cho các s th c 1 2 ... 1, 2 n a a a n . Ch ng minh r ng: 1 1 2 2 1 1 2 3 1 log log log log ... log log log log 0 n n n n a a a a a a n a a a a a a . ............ H T ............ B C A HƯỚ NG D N GI I (THAM KH O) Câu 1a ( 1,0 điể m ) . Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s sin cos 1 2 sin 2 x x y x . Hướ ng d n t 2 sin cos 2; 2 sin 2 1 x x t x t , khi đó 2 1 , 2; 2 1 t y f t t t . Ta có 2 2 1 ' ' 0 1 1 1 t f t f t t t t . Tính 1 2 1 2 2 ; 2 , 1 2 3 3 f f f . Suy ra: 1 2 3 min 2 4 3 y x k ; max 2 2 , 2 2 y x k x k . Câu 1b ( 1,0 điể m ) . Cho hàm s 1 x y x có đồ th C và điể m 1;1 A . Tìm các giá tr c ng th ng : 1 d y mx m c th C t m phân bi t , M N sao cho 2 2 AM AN t giá tr nh nh t. Hướ ng d n Cách 1 : D th ng th ng : 1 d y mx m luôn đi qua điể m 1; 1 I là giao điể m c ng ti m c n. Ta có 2 1 ' 0, 1 1 y x x nên để ng th ng d c t C t m phân bi t , M N thì 0 m . Khi đó 1; 1 I luôn là trung điể m c n MN. Ta có 2 2 2 2 2 4 2 32 2 AM AN AM AN AM AN AI AM AN AM AN (*). Do A c nh nên: n c AM AN là s dương và trong tam giác AMN có c nh MN nh nh t thì tìm đượ c giá tr nh nh t . Mà C là Hypebol nên khi d là đườ ng phân giác c a góc t o b i hai ti m c n thì 1 m và : d y x c t C t m phân bi t 0; 0 , 2; 2 M N và MN nh nh t, ta có: 1.3 1 3 6 0 AM AN , hơn nữ a 2 2 32 12 20 AM AN . V y 2 2 min 20 1 AM AN m . Cách 2 : Xét phương trình hoành độ giao điể m c a d c t và C : 1 , 1 1 x mx m x x 2 2 1 0 mx mx m (vì 1 x không là nghi m).