Đề thi Olympic 24/3 Toán 10 năm 2021 sở GD&ĐT Quảng Nam

Mô tả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM NĂM 2021 Môn thi : TOÁN 10 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 20/03/2021 Câu 1 (5,0 điểm). a) Giải phương trình 2 3 1 3 3 4 4 3 2 0. x x x x b) Giải hệ phương trình 2 2 0 2 3 2( 3 2) 2 1 0 y x xy x x y y x x Câu 2 (4,0 điểm). a) Cho hàm số 2 1 3 khi 3 6 12 khi 3 x x x y x x x có đồ thị ( C ). Tìm tất cả các điểm trên đồ thị ( C ) có tung độ bằng 4. b) Cho parabol ( ) P : 2 y x bx c . Tìm các hệ số , b c ( ) P (2;1) A và cắt trục hoành tại hai điểm , B C sao cho tam giác IBC I là đỉnh của ( ). P Câu 3 (4,0 điểm). a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 ( ) 3 2 f x x x trên nửa khoảng 1; . b) Cho hai số thực dương , x y thỏa mãn 3. x y xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 y y x x P x y y x Câu 4 (3,0 điểm). a) Cho hình vuông , ABCD M là trung điểm của , BC N nằm trên cạnh CD sao cho 2 , NC ND K là trung điểm của . AB Hai điểm , I J lần lượt là trọng tâm của hai tam giác , . AMN BCN Hãy biểu thị vectơ IJ theo hai vectơ , AB AD và chứng minh IJ vuông góc với . DK b) Cho tam giác ABC có 0 2 3, 4, 150 . AB AC BAC M nằm trên cạnh BC sao cho 0 120 . BAM Tính độ dài các đoạn thẳng , . MB MC Câu 5 (4,0 điểm). a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm (3;1) A và đường thẳng ( d ) có phương trình 2 1 0 x y . Viết phương trình đường tròn ( C ) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ( d ) tại (1;3). B b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại B. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB , AC và (7;3) I là trọng tâm của tam giác . ABN E thuộc cạnh AC sao cho IE IA ( E khác A ) và thẳng IE có phương trình 2 13 0 x y . Điểm M thuộc đường thẳng 1 ( ) : 3 12 0 d x y , B thuộc đường thẳng 2 ( ) : 2 0 d x y và A có hoành độ lớn hơn 5. Tìm tọa độ các điểm A , B , C . Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: .............................................. Số báo danh: ................... Trang 1/6 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM NĂM 2021 Môn thi: TOÁN 10 ( ) Câu Câu 1 (5,0 a) Giải phương trình 2 3 1 3 3 4 4 3 2 0 x x x x 2,5 1 3. x 2 3 1 4 4 3 3 3 2 0 x x x x 3( 1 3 ) 4 ( 1)(3 ) 2 0 (1) x x x x 2 1 3 ( 0) 2 2 ( 1)(3 ) t x x t t x x Phương trình (2) trở thành: 2 3 2( 2) 2 0 t t 2 2 2 3 2 0 1 (loai) 2 t t t t 2 1 3 2 2 t x x x (thỏa). b) Giải hệ phương trình 2 2 0 2 3 2( 3 2) 2 1 0 y x xy x x y y x x 2,5 1 , 0 2 x y 2 0 y x xy ( ) ( ) 0 y x x xy ( 2 )( ) 0 y x y x 2 0 ( 0) 4 y x y x y x Khi đó pt thứ hai viết lại: 2 2 3 2( 2) 2 1 0 x x x x 2 4 4 2( 2) 2 1 (2 1) 0 x x x x x 2 2 2 1 0 x x 2 2 2 1 2 5 6 5 0 x x x x x x Suy ra được nghiệm của hệ: (5 ; 20).