Đề thi Olympic 27/4 Toán 11 năm 2017 – 2018 sở GD và ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu

Mô tả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU MÔN THI: TOÁN LỚP 11 Ngày thi: 06/03/2018 Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian giao Bài 1 (5,0 điểm): 1) Giải phương trình 4 4 2 cos sin 1 2cos 2 sin 3 cos3 . x x x x x 2) Cho tam giác A BC không tù và thỏa mãn 3 3 3 9 2 cos cos cos 3cos cos cos 8 A B C A B C . Chứng minh A BC là một tam giác đều. Bài 2 (2,0 điểm): Cho khai triển sau: 2018 2 2018 2017 2018 1 2 2018 2017 1 0 2 2018 2 2 ... ... 1 1 1 1 b x x b b a x a x a x a x x x x với 1 x . Hãy tính hệ số 0 a và tổng 1 2 2018 ... . S b b b Bài 3 (5,0 điểm): Cho đoạn A B vuông góc mặt phẳng ( P ) tại điểm B . Trong ( P ) lấy điểm H thỏa ( 0) BH BA a a . Vẽ đường thẳng d nằm trong (P) và qua H , d vuông góc với . BH Hai điểm , M N di động trên d và thỏa mãn 90 . MAN A và vuông góc mặt phẳng ( ) A MN cắt ( P ) tại điểm K . 1) Chứng minh rằng B là trực tâm của tam giác KMN . 2) Gọi , lần lượt là số đo các góc tạo bởi B M với mp ( ) A KN , BN với mp ( ) A KM . Chứng minh 2 2 1 cos cos 2 và tìm giá trị nhỏ nhất của . Bài 4 (4,0 điểm): Cho dãy số ( ) n a xác định bởi công thức: 1 2 2 1 1; 2; (3 2) 2( 1) ; 1;2;3; ... n n n a a na n a n a n 1) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy ( ) n a . 2) Chứng minh * 1 2 ( 1) 1 1 ... 1 ; . 2 n n n a a a n 3) Tính 1 2 2 lim ... 3 3 3 n n a a a . Bài 5 (4,0 điểm): 1) Tìm tất cả các giá trị của a 2 2 lim 2 2 x x ax x x x x có giá trị hữu hạn. 2) Tìm tất cả các hàm số : f thỏa mãn 2 f x y f x f y f xy f x f y xy với mọi , . x y ----------------- HẾT ----------------- Họ và tên thí sinh........................................................................... Số báo danh .................................. Chữ ký của giám thị 1 ...................................................................SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU KỲ THI OLYMPIC 27/4 - NĂM HỌC 2017- 2018 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Bài Nội dung 1.1 (2,5 đ) 4 4 2 2 2 2 2 cos sin 1 2 cos 2 sin 3 cos 3 2 cos sin cos sin sin 2sin cos 2 3 cos 3 x x x x x x x x x x x x x 0,25 2 cos 2 sin sin 3 sin 3 cos 3 x x x x x 0,5 3 1 cos 3 sin 3 cos 2 2 2 x x x 0,25 cos cos 3 sin sin 3 cos 2 cos 3 cos 2 6 6 6 x x x x x 0,25x2 3 2 2 2 6 6 2 3 2 2 6 30 5 x x k x k k x x k x k 0,5x2 1.2 (2,5đ) Ta có 1 cos cos cos cos cos cos 2 A B C A B A B C 0,25 2 1 cos cos cos 2 C A B A B 0,25 2 2 2 2 1 1 1 cos cos 2 cos 2 cos cos cos 1 2 2 2 C A B A B C 0,25x2 Do đó 3 3 3 2 2 2 3 9 2 cos cos cos cos cos cos 1 2 8 gt A B C A B C 0,25 3 2 3 2 16 cos 12 cos 1 16 cos 12 cos 1 A A B B 3 2 16 cos 12 cos 1 0 C C 0,25 2 2 2 cos 1 4 cos 1 2 cos 1 4 cos 1 A A B B 2 2 cos 1 4 cos 1 0 C C 0,25 1 cos cos cos 2 A B C (Do 4 cos 1 0, 4 cos 1 0, 4 cos 1 0 A B C ). 0,25x2 0 60 A B C ABC 0,25 2 (2,0đ) 2018 2 2 2 ( ) 1 x x f x x ta có 2018 0 1 2018 (0) ... 2 f a b b . Vậy 2018 0 2 . a S (1) 0,5 2018 2018 2 2018 2018 0 1008 2018 2 2018 2018 2018 2018 2 0 1009 1 ( ) 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) k k k k k k k k k f x x C x x C C x x . 0,5 1008 1007 1 0 1 3 2017 2 4 2018 2018 2018 2018 2018 ... 0 ... ... b b b S b b b C C C C 0,25