Đề tuyển sinh lớp 10 THPT môn Toán (chuyên) năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Ninh Bình

Mô tả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH Năm học 2022 - 2023 Bài thi môn chuyên: Toán; Ngày thi: 10/6/2022 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1 (2,0 điểm): Cho biểu thức x + 3 x + 2 x + 2 x 2 A = + : 1 x 2 x 3 x 5 x + 6 x x 2 với x > 0, x 4, x 9. 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 2 2. Câu 2 (2,0 điểm): 1. Giải phương trình 2 x 3x 2 2(2 x) x 1 0. 2. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2x 2y 8x 4y 1 x 7y 4xy 6y 6 Câu 3 (2,0 điểm): 1. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 2y 3z 6. Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 3 3 9 x 4y 9z 49xy 49yz 98zx 49 2. Tìm tất cả các số nguyên dương a và các số nguyên tố p thỏa mãn 2 4 a 7p 9. Câu 4 (3,0 điểm): Cho tam giác nhọn ABC (AB AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N lần lượt là trung AB, AC. MN cắt (O) tại các điểm P, Q ( P thuộc cung nhỏ AB và Q thuộc cung nhỏ AC ). Lấy điểm D trên cạnh BC ( D B; D C ). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB tại điểm I ( I khác B ). Đường thẳng DI cắt AC tại K . 1. Chứng minh rằng tứ giác AIPK nội tiếp. 2. Chứng minh rằng PK QB = PD QA 3. CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G ( G khác P ). Đường thẳng IG cắt đường thẳng BC tại điểm E . Chứng minh rằng khi điểm D di chuyển trên cạnh BC thì tỉ số CD CE không đổi. Câu 5 (1,0 điểm): Cho bảng ô vuông 3 x 3 (gồm ba dòng và ba cột). Người ta ghi tất cả các số thuộc tập hợp 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 vào các ô vuông của bảng, mỗi ô vuông ghi một số, sao cho tổng các số trong mỗi bảng vuông con cỡ 2 x 2 1. Hãy chỉ ra một cách ghi các số vào bảng thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2. Trong tất cả các cách ghi các số vào bảng thỏa mãn yêu cầu bài toán, tìm giá trị lớn nhất của tổng các số trong mỗi bảng vuông con cỡ 2 x 2 . --------HẾT-------- H . ..................................................... S : ....... ................. .... ........ ... ... .... . . Họ và tên, chữ ký: Cán bộ coi thi thứ nhất:................................................................................. Cán bộ coi thi thứ hai:................................................................................... HÍNH TH - 1 - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM Năm học: 2022 - 2023 Bài thi môn chuyên: TOÁN - Ngày thi: 10/6/2022 (Hư 9 trang) I. Hướng dẫn chung 1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó. 2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau. 3. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm. 4. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho đủ điểm, thang 5. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và có biên bản thống nhất thực hiện trong toàn Ban chấm thi. 6. Tuyệt đối không làm tròn điểm. II. Hướng dẫn chi tiết Câu Nội dung Câu 1 Câu 1 (2,0 điểm): Cho biểu thức x + 3 x + 2 x + 2 x 2 A = + : -1 x 2 x 3 x 5 x + 6 x x 2 với x > 0, x 4, x 9. 1 (1,5 điểm). Rút gọn biểu thức A. ( x + 3)( x - 3) ( x + 2)( x - 2) x + 2 x - 2 A = - + : -1 ( x - 3)( x - 2) ( x - 3)( x - 2) x- 5 x + 6 x - x 2 0,25 (x 9) (x 4) x + 2 x - 2 = : -1 ( x 3)( x 2) x - x 2 0,25 x 3 x - 2 x x 2 = : ( x 3)( x 2) x - x 2 0,25 1 x = : x 2 x - x 2 0,25 1 ( x 1)( x 2) = . x 2 x 0,25 x 1 = . x 0,25 2 (0,5 điểm). Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 2 2. Ta có 2 x 3 2 2 ( 2 1) x 2 1 0,25 Khi đó x 1 1 A = 1 1 ( 2 1) 2 2 x 2 1 0,25 Câu 2 1 (1,0 điểm). Giải phương trình: 2 x 3x 2 2(2 x) x 1 0 Cách 1. x 1 . Khi đó phương trình 2 x x 1 4 x x 1 3 0 0.25