Giải phương trình – bất phương trình bằng phương pháp Vector

Mô tả

Ví dụ 1: Giải bất phương trình x 1 + x 3 2( x 3) 2 + 2 x 2 Giải : Với x 1 xét các vectơ ~ u = ( x 1 , x 3) và ~ e = (1 , 1) ta có | ~ u | = x 1 + ( x 3) 2 và | ~ e | = 2 . Theo (II’) ta được : ( x 1 , x 3)(1 , 1) x 1 + ( x 3) 2 . 2 x 1 + x 3 2 x 2 + 2( x 3) 2 theo (IV) ta được: { x 1 = x 3 = x 1 = x 3 x = 5 Ví dụ 2 : Giải bất phương trình x + 1 + 2 x 3 + 50 3 x 12 (2) Giải : Tập xác định của vế trái là 3 2 x 50 3 . Xét các vectơ ~ u = ( x + 1 , 2 x 3 , 50 3 x ) và ~ v = (1 , 1 , 1) , ta có | ~ u | = 48 = 4 3 và | ~ v | = 3 . Theo (II’) bất phương trình (2) trở thành : ( x + 1 , 2 x 3 , 50 3 x )(1 , 1 , 1) 4 3 . 3 x + 1 + 2 x 3 + 50 3 x 12 Vậy nghiệm của bpt (2) là 3 2 x 50 3 . Ví dụ 3 : Giải phương trình sin x + 2 sin x 2 + sin x 2 sin x 2 = 3 (3) Giải : Xét các vectơ u = (sin x, 1 , 2 sin x 2 ) và v = (1 , 2 sin x 2 , sin x ) . Ta có |− u | = |− v | = 3 1 u | . |− v | = 3 Theo (III’) ta có |− u . v | = |− u | . |− v | và từ (IV) ta có hệ : sin x = 1 = 2 sin x 2 2 sin x 2 = sin x = 1 và sin x = 1 x = 2 + 2 kπ ( k Z) Ví dụ 4 : Chứng minh rằng hệ sau đây vô nghiệm. { x 4 + y 4 + z 4 = 1 x 2 + y 2 + 2 z 2 = 7 . Giải : Xét các vectơ ~ u = ( x 2 , y 2 , z 2 ) và ~ v = (1 , 1 , 2) , Ta có : | ~ u | = x 4 + y 4 + z 4 = 1 , | ~ v | = 1 2 + 1 2 + 2 2 = 6 . Theo hệ trên, ta có ~ u.~ v = x 2 + y 2 + 2 z 2 = 7 và | ~ u | . | ~ v | = 6 Do đó ~ u.~ v = ( x 2 , y 2 , z 2 )(1 , 1 , 2) = x 2 + y 2 + 2 z 2 > 6 = | ~ u | . | ~ v | Vậy hệ trên vô nghiệm. Qua các ví dụ trên rõ ràng ta thấy sự phong phú, tính hiệu quả, ngắn gọn của việc sư dụng tích vô hướng để giải một số bài toán thường gặp. Sau đây là một số đề toán để luyện tập : Bài 5 : Giải phương trình : x x + 1 + 3 x = 2 x 2 + 1 . Giải : 1 x 3 . u = ( x, 1) , v = ( x + 1 , 3 x ) . Khi đó u . v = x x + 1 + 3 x ; |− u | . |− v | = x 2 + 1 . ( x + 1) 2 + ( 3 x ) 2 = 2 x 2 + 1 . Do đó u . v = |− u | . |− v | ⇒ − u , v cộng tuyến x 1 = x + 1 3 x ( DK : 0 < x 3) 2