Hướng dẫn giải các dạng toán dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Mô tả

CHƯƠNG 3 DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Bài toán. Chứng minh mệnh đề chứa biến P ( n ) n . Phương pháp. Bước 1. Với n = 1 , ta chứng minh P ( 1 ) Bước 2. Giả sử P ( n ) n = k 1 . Ta cần chứng minh P ( n ) n = k + 1 . Kết luận, mệnh đề P ( n ) n . ! P ( n ) n p , p là số nguyên dương. Ta cũng làm các bước tương tự như trên. Bước 1. Với n = p , ta chứng minh P ( p ) Giả sử P ( n ) n = k p . Ta cần chứng minh P ( n ) n = k + 1 . Kết luận, mệnh đề P ( n ) n . B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP { DẠNG 1.1. Chứng minh mệnh đề P ( n ) n Thực hiện theo các bước đã nêu ở phần tóm tắt lí thuyết. 1 VÍ DỤ VÍ DỤ 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 , ta có 1 + 2 + 3 + + n = n ( n + 1 ) 2 . 1 1 3 + 2 3 + 3 3 + + n 3 = n 2 ( n + 1 ) 2 4 . 2 L Lời giải 1 S n = 1 + 2 + 3 + + n = n ( n + 1 ) 2 . ( 1 ) Với n = 1 thì S 1 = 1 ( 1 + 1 ) 2 = 1 . Vậy ( 1 ) n = 1 . 301302 CHƯƠNG 3. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Giả sử ( 1 ) n = k 1 , k N , tức là ta có S k = 1 + 2 + 3 + + k = k ( k + 1 ) 2 . Ta cần chứng minh ( 1 ) cũng đúng với n = k + 1 , tức là cần chứng minh S k + 1 = 1 + 2 + 3 + + ( k + 1 ) = ( k + 1 )[( k + 1 ) + 1 ] 2 = ( k + 1 )( k + 2 ) 2 . Thật vậy, ta có S k + 1 = S k + ( k + 1 ) = k ( k + 1 ) 2 + ( k + 1 ) = k ( k + 1 ) + 2 ( k + 1 ) 2 = ( k + 1 )( k + 2 ) 2 . Vậy ( 1 ) n = k + 1 . Do đó, 1 + 2 + 3 + + n = n ( n + 1 ) 2 với mọi số tự nhiên n 1 . 2 T n = 1 3 + 2 3 + 3 3 + + n 3 = n 2 ( n + 1 ) 2 4 . ( 1 ) Với n = 1 thì T 1 = 1 2 ( 1 + 1 ) 2 4 = 1 = 1 3 . Vậy ( 1 ) n = 1 . Giả sử ( 1 ) n = k 1 , k N , tức là ta có T k = 1 3 + 2 3 + 3 3 + + k 3 = k 2 ( k + 1 ) 2 4 . Ta cần chứng minh ( 1 ) cũng đúng với n = k + 1 , tức là cần chứng minh T k + 1 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + + ( k + 1 ) 3 = ( k + 1 ) 2 [( k + 1 ) + 1 ] 2 4 = ( k + 1 ) 2 ( k + 2 ) 2 4 . Thật vậy, ta có T k + 1 = T k + ( k + 1 ) 3 = k 2 ( k + 1 ) 2 4 + ( k + 1 ) 3 = k 2 ( k + 1 ) 2 + 4 ( k + 1 ) 3 4 = ( k + 1 ) 2 [ k 2 + 4 ( k + 1 ) ] 4 = ( k + 1 ) 2 ( k 2 + 4 k + 4 ) 4 = ( k + 1 ) 2 ( k + 2 ) 2 4 . Vậy ( 1 ) n = k + 1 . Do đó, 1 3 + 2 3 + 3 3 + + n 3 = n 2 ( n + 1 ) 2 4 với mọi số tự nhiên n 1 . Nhận xét. Với mọi số tự nhiên n 1 , ta có T n = S 2 n .  VÍ DỤ 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 , ta luôn có u n = n 3 + 3 n 2 + 5 n chia hết cho 3 . 1 u n = 9 n 1 chia hết cho 8 . 2 L Lời giải