Phân loại và phương pháp giải bài tập dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Mô tả

Giáo viên có nhu c u s h u file word vui lòng liên h . Face: Tr n . S T: 0834332133 Trang 214 CH NG 3. DÃY S - C P S C NG – C P S NHÂN BÀI 1. PH NG PHÁP QUY N P TOÁN H C A. KI N TH C C B N C N N M ch ng minh nh ng m nh liên quan n s t nhiên * n là i m i n mà không th th tr c ti p thì có th làm nh sau: B c 1. Ki m tra r ng m nh i 1. n = B c 2. Gi thi t m nh i m t s t nhiên b t kì 1 n k = (g i là gi thi t quy n p), ch ng minh r ng nó c ng i 1. n k = + ng pháp quy n p toán h c, hay còn g i t t là ph ng pháp quy n p. M t cách n gi n, ta có th hình dung nh sau: M nh 1 n = nên theo k t qu b c 2, nó c ng i 1 1 2. n = + = Vì nó i 2 n = nên l i theo k t qu b c 2, nó v i 2 1 3,... n = + = B ng cách y, ta có th kh ng nh r ng m nh i m i s t nhiên * . n Chú ý: N u ph i ch ng minh m nh là i m i s t nhiên n p ( p là m t s t nhiên) thì: B c 1, ta ph i ki m tra m nh i ; n p = B c 2, gi thi t m nh i s t nhiên b t kì n k p = và ph i ch ng minh r ng nó c ng i 1. n k = + B. PHÂN LO I VÀ PH NG PHÁP GI I BÀI T P D ng 1. Ch ng minh ng th c Ví d 1 . Ch ng minh r ng: 2 * 1.2 2.5 3.8 ... n 3n 1 n n 1 ,vôùi n N (1) L i gi i B c 1: V i n=1, v trái b ng 1.2=2, v ph i b ng 2. h th c (1) B c 2: t v trái b ng S n . Gi s h th c (1) i n k 1 , t c là : 2 k 2 k 1 S 1.2 2.5 ... k(3k 1) k (k 1)( giaû thieát quy naïp) Ta phaûi chöùng minh raèng (1) cuõng ñuùng vôùi n=k+1, töùc laø : S k 1 k 2 Thaä vaäy, töø giaû thieát quy naïp ta coù: 2 k 1 k 2 2 * S S k 1 3 k 1 1 k k 1 k 1 3k 2 (k 1)(k 3k 2) k 1 k 2 Vaäy heä thöùc (1) ñuùng vôùi moïi n N D ng 2. Ch ng minh b t ng th c Ví d 1. Ch ng minh r ng v i m i n 3 ta có: n 2 3 n 4n 5 (1) L i gi iGiáo viên có nhu c u s h u file word vui lòng liên h . Face: Tr n . S T: 0834332133 Trang 215 k 2 Vôùi n=3, veá traùi baèng 27, coøn veá phaûi baèng 26. Baát ñaúng thöùc (4) ñuùng. Giaûi söû baát ñaúng thöùc (4) ñuùng vôùi n=k 3. töùc laø: 3 k 4k 5. (1') Ta phaûi chöùng minh noù cuõng ñuùng vôùi n=k+ 2 k+1 2 k 1 2 2 2 2 k 1 1, töùc laø: 3 k 1 4 k 1 5 Thaät vaäy, nhaân hai veá cuûa baát ñaúng thöùc (1') vôùi 3 ta coù: 3 3k 12k 15 k 1 4 k 1 5 2k 6k 5 Vì 2k 6k 5 0 neân 3 k 1 4 k 1 5 D ng 3. Ch ng minh m t tính ch t Ví d . Ch ng minh r ng: 7 * n n chia heát cho 7 vôùi moïi n N Gi i 7 n 1 7 k 7 7 6 5 4 3 2 k+1 7 6 5 4 n n. Khi n=1 thì A 0 chia heát cho 7 Giaû söû ñaõ coù: A k k 7 Thaät vaây, aùp duïng coâng thöùc nhò thöùc Niu-ton ta coù: A k 1 k 1 k 7k 21k 35k 35k 21k 7k 1 k 1 k k 7 k 3k 5k 5k 3 2 7 k k+1 7 * 3k k Theo giaû thieát quy naïp thì A k k chia heát cho 7, do ñoùA 7 Vaäy n n chia heát cho 7 vôùi moïi n N D ng 4. M t s bài toán khác Ví d . Ch ng minh r ng: n+1 2 2 ... 2 2cos 2 Gi i n k k+1 Khi n=1, veá traùi baèng 2, veá phaûi baèng 2cos 2; heä thöùc (1) ñuùng 4 Giaû söû heä thöùc (1) ñuùng vôùi n=k 1, töùc laø C 2cos 2 ta phaûi chöùng minh: k+1 k+2 k+1 k k 1 2 k 2 k 2 k 2 C 2cos 2 Thaät vaäy, töø giaû thieát quy naïp ta coù: C 2 C 2 2 cos 2 4 cos 2 cos ( vì cos ) 2 2 2 Vaäy heä thöùc (1) ñaõ ñöôïc chöùng minh