Phân tích bình luận 111 bài toán bất đẳng thức – Nguyễn Công Lợi

Mô tả

THCS.TOANMATH.com TÀI LI U TOÁN H C 2 TUYỂN CHỌN 111 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ĐẶC SẮC Trong chủ đề n|y, chúng tôi đã tuyển chọn v| giới thiệu một số b|i to{n bất đẳng thức hay v| khó, cùng với đó l| qu{ trình ph}n tích để đi đến hình th|nh lời giải cho b|i to{n bất đẳng thức đó. Từ c{c b|i to{n đó ta sẽ thấy được qu{ trình ph}n tích đặc điểm của giả thiết b|i to{n cũng như bất đẳng thức cần chứng minh, từ đó có những nhận định, Bài 1. Cho a, b, c l| c{c số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 bc ca ab 1 1 1 2a 2b 2c a b c b c a c a b Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đo{n dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c . Có thể nói đ}y l| một bất cận b|i to{n như sau Cách 1. Từ chiều của bất đẳng thức, ý tưởng đầu tiên l| sử dụng bất đẳng thức AM – GM GM cho bao nhiều số? Để ý bên vế tr{i bất đẳng thức có chứa 2 1 a v| bên vế phải lại chứa 1 a nên ta sử dụng bất đẳng thức AM bc b c . Chú ý đến bảo to|n dấu đẳng thức ta có đ{nh gi{ sau 2 2 bc b c bc b c 1 2 4bc 4bc a a b c a b c Thực hiện tương tự ta có 2 2 ca c a 1 ab a b 1 ; 4ca b 4ab c b c a c a b Cộng theo vế c{c bất đẳng thức trên ta được 2 2 2 bc ca ab b c c a a b 1 1 1 4bc 4ca 4ab a b c a b c b c a c a bTHCS.TOANMATH.com TÀI LI U TOÁN H C 3 b c c a a b 1 1 1 1 4bc 4ca 4ab 2 a b c , lúc n|y ta thu được 2 2 2 bc ca ab 1 1 1 1 1 1 1 a b c 2 a b c a b c b c a c a b Hay 2 2 2 bc ca ab 1 1 1 2a 2b 2c a b c b c a c a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi v| chỉ khi a b c . Cách 2. Schwarz dạng ph}n thức ta 2 2 2 2 ab bc ca bc ca ab a b c b c a c a b abc a b c b c a c a b Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 2 ab bc ca 1 1 1 2a 2b 2c abc a b c b c a c a b Biến đổi vế tr{i ta được 2 2 ab bc ca ab bc ca 1 1 1 2a 2b 2c 2abc ab bc ca abc a b c b c a c a b Cách 3. Chú ý đến phép biến đổi 2 2 bc 1 ab bc ca a a b c a b c , khi đó ta thu được bất đẳng thức cần chứng sau 2 2 2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca 3 1 1 1 2 a b c a b c b c a c a b Biến đổi vế tr{i ta lại được 3 ab bc ca 3 1 1 1 2 a b c 2abc . Đến lúc n|y ta đưa b|i to{n cần chứng minh th|nh 2 2 2 1 1 1 3 2abc a b c b c a c a b