Tài liệu ôn thi HSG Quốc gia môn Toán chủ đề dãy số – Nguyễn Hoàng Vinh

Mô tả

GVBS: Nguy n Hoàng Vinh [ TÀI LI U ÔN THI HSGQG 2021 DÃY S ] 1 | N h c 2 0 2 1 - 2 0 2 2 CHUYÊN Đ DÃY S TUY N 2020 2021 L N 1 N i dung: 1. Tính gi i h n theo đ nh nghĩa, đ nh lý k p, đ nh lý Weierstrass , dùng công th c t ng quát ... 2. Các tính ch t, đánh giá xung quanh dãy s . Bài 1: Cho dãy s ( ) n a th a 1 n 1 n 1 2 n 1 a 0,a a a a ... a + = + + + + . Tính n 1 n a lim a + . L i gi i: T gi thi t, ta có ( ) n a là dãy dương và tăng ng t, suy ra 1 2 n n a a ... a na + + + và đi u này suy ra n 1 n n 1 1 n n 1 1 1 1 a a a a 1 ... na a 2 n + + + + + + + . Gi s dãy ( ) n a b ch n trên b i M, suy ra n 1 1 1 1 1 ... a 2 n + + + + cũng b ch n, hay 1 1 1 1 1 ... M 2 n + + + + cũng b ch n và đi u này vô lý. V y n lima = + và t trên ta có đánh giá: ( ) n 1 n n 1 n a 1 1 1 a a a ... a + = + + + hay n 1 n a lim 1 a + = . Bài 2: Cho dãy s ( ) n x th a n n 1 n 2 1 2 n n 1 x .x x , x x 0 2x x + + + = . Tính ( ) ( ) n 1 n lim n n x x + . L i gi i: T cho, đ t n n 1 y x = ta suy ra công th c t ng quát cho n y và suy ra công th c cho ( ) 1 2 n 1 2 1 2 x .x x x x n 2x x = + và suy ra k t qu . Bài 3: Cho dãy s ( ) n x th a 1 2 x ,x 0 và n 1 n 1 n 2 n n 4 x 2 2 x + + + = + + , tính n 1 n x lim x + .GVBS: Nguy n Hoàng Vinh [ TÀI LI U ÔN THI HSGQG 2021 DÃY S ] 2 | N h c 2 0 2 1 - 2 0 2 2 L i gi i: t n n n x y 2 = và t gi thi t suy ra n 2 n 1 1 y 1 y 2 + = + + . T cho ta n 2 n n n 1 2 y 1 y 1 y 1 , n 1; 2; 3;... y 1 3 + = = + do n 1 y 2 v i m i giá tr n (dãy dương). T suy ra n n n x lim y 1 lim 1 2 = = và n n 1 n 1 n 1 n n x x 2 lim lim . .2 2 x x 2 + + + = = . Bài 4: Cho hàm s : f D , ngh ch bi n trên D và dãy ( ) n x xác đ nh b i ( ) 1 n n x f x + = và th a đi u ki n: 1/ 1 3 1 2 , x x x x và ( ) 1 2 ; x x D 2/ ( ) ( ) a f b b f a = = có nghi m duy nh t a b l = = trên ( ) 1 2 ; x x . Ch ng minh dãy đã cho có gi i h n. L i gi i: u tiên, ta ch ng minh ( ) 1 2 ; , n x x x D n . Th t v y, có th xét quy n p không hoàn toàn như sau ( ) 1 2 2 3 3 1 2 3 4 ; x x x x x x x x x và ( ) 1 3 2 4 4 1 2 3 5 ; x x x x x x x x x . T 3 5 3 4 , x x x x . Quá trình này ti p di n liên t c cho ta đi u ph i ch ng minh. Xét dãy ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 , n n n n x f f x x f f x + = = . T ch ng minh trên ta có ( ) 2 1 n x là dãy tăng và ( ) 2 n x là dãy gi m. Đ ng th i ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 2 ; , ; n n x x x x x x nên hai dãy đã cho h i t . t 2 2 1 lim , lim n n a x b x = = . L y lim hai v c a ( ) 1 n n x f x + = ta có h ( ) ( ) a f b b f a = = V y, theo gi thi t, h có nghi m duy nh t a b l = = nên lim n x l = . Bài 5: Tìm gi i h n c a dãy s ( ) n x bi t 1 2 1 3 1 1 ( 1) 1 n x n n = + + + + +