Tài liệu tự học hàm số liên tục – Nguyễn Trọng

Mô tả

Tài li u t h c dành cho HS L p 11 GI I H N VÀ LIÊN T C Fb : ThayTrongDGL Tài li u biên so n và sưu t m Chúc các em h c t t ! Page 1 CHƯƠNG 4 GI I H N B LIÊN T C A. TÓM T T LÝ THUY T 1. Hàm s liên t c t i 1 đi m Gi s hàm s ( ) f x xác đ nh trên kho ng ( ) ; a b và ( ) 0 ; x a b . Hàm s ( ) y f x = g i là liên t c t i đi m 0 x n u ( ) ( ) 0 0 lim x x f x f x = . Hàm s không liên t c t i đi m 0 x g i là gián đo n t i 0 x . 2 . Hàm s liên t c trên m t kho ng, đo n Gi s hàm s ( ) f x liên t c trên kho ng ( ) ; a b . Ta nói r ng hàm s ( ) y f x = liên t c trên kho ng ( ) ; a b n u nó liên t c t i m i đi m c a kho ng đó. Hàm s ( ) y f x = g i là liên t c trên đo n ; a b n u nó liên t c trên kho ng ( ) ; a b và ( ) ( ) ( ) ( ) lim , lim x a x b f x f a f x f b + = = . Nh n xét: N u hai hàm ( ) f x và ( ) g x liên t c t i đi m 0 x thì các hàm s ( ) ( ) f x g x , ( ) ( ) . f x g x , ( ) . c f x (v i c là h ng s ) đ u liên t c t i đi m 0 x . Hàm s c liên t c trên . Hàm s phân th c và lư ng giác liên t c trên t ng kho ng xác đ nh c a chúng. 3 . Tính ch t c a hàm s liên t c nh lý v giá tr trung gian: Gi s hàm s f liên t c trên đo n ; a b . N u ( ) ( ) f a f b thì v i m i s th c M n m gi a ( ) ( ) , f a f b t n t i ít nh t m t đi m ( ) ; c a b tho mãn ( ) f c M = . c: N u hàm s f liên t c trên đo n ; a b và M là m t s th c n m gi a ( ) ( ) , f a f b thì đư ng th ng y M = c t đ th hàm s ( ) y f x = t i ít nh t m t đi m có hoành đ ( ) ; c a b . H qu : N u hàm s f liên t c trên đo n ; a b và ( ) ( ) . 0 f a f b thì t n t i ít nh t m t đi m ( ) ; c a b sao cho ( ) 0 f c = . Ta thư ng v n d ng theo hai hư ng sai: + V n d ng ch ng minh phương trình có nghi m: u hàm s ( ) y f x = liên t c trên đo n ; a b và ( ) ( ) . 0 f a f b thì phương trình ( ) 0 f x = có ít nh t m t nghi m trong kho ng ( ) ; a b Tài li u t h c dành cho HS L p 11 GI I H N VÀ LIÊN T C Fb : ThayTrongDGL Tài li u biên so n và sưu t m Chúc các em h c t t ! Page 2 + V n d ng trong tương giao th : u hàm s ( ) y f x = liên t c trên n ; a b và ( ) ( ) . 0 f a f b thì đ th c a hàm s ( ) y f x = c t tr c hoành ít nh t t i m t đi m có hoành đ ( ) ; c a b B. D NG TOÁN VÀ BÀI T P _ D NG 1 . XÉT TÍNH LIÊN T C C A HÀM S T I M T ĐI M Phương pháp gi i: Hàm s liên t c t i đi m 0 x x = khi ( ) ( ) 0 0 lim x x f x f x = ho c ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim x x x x f x f x f x + = = VÍ D Ví d 1. Xét tính liên t c c a hàm s 2 3 2 2 ( ) 2 4 7 2 x x khi x f x x x khi x + = = t i đi m 0 2 x = . Liên t c L i gi i Ta có 0 ( ) (2) 4.2 7 1 f x f = = = 2 2 2 2 3 2 ( 2)( 1) lim ( ) lim lim 1 2 2 x x x x x x x f x x x + = = = Suy ra 2 (2) lim ( ) x f f x = nên hàm s ( ) f x liên t c t i đi m 0 2. x = Ví d 2 . Xét tính liên t c c a hàm s 3 2 1 1 ( ) 1 1 3 x khi x x f x khi x + =  = t i đi m 0 1 x = . Không liên t c L i gi i Ta có 0 1 ( ) (1) . 3 f x f = = 1 1 1 1 3 2 1 1 1 lim ( ) lim lim lim 1 4 ( 1)( 3 2) 3 2 x x x x x x f x x x x x + = = = = + + + + Suy ra 1 (1) lim ( ) x f f x nên hàm s ( ) f x không liên t c t i đi m 0 1 x = (hay gián đo n t i m 0 1 x = ).