Tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng phương pháp sai phân – Mai Xuân Việt

Mô tả

Mai Xuân Việt – Email: [email protected] Tel : 01678336358 0938680277 0947572201 TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ BẰNG PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN I- Phƣơng trình sai phân bậc nhất: Dạng 1 : Cho dãy số {x n } : 0 n+1 onst ax 0 n x c bx . Tìm số hạng tổng quát của dãy số? Từ công thức truy hồi ta có : 2 1 2 0 . . .................... . n n n n b b b x x x x a a a Khi đó công thức tổng quát (CTTQ) của dãy số được xác định bởi : 0 . n n b x x a . T hí dụ : Cho dãy số {x n } được xác định bởi : 0 1 5 3 0 , n n x x x n . Tìm số hạng tổng quát của dãy số. Giải: Từ công thức truy hồi ta có : 2 1 2 0 3 3 ................. 3 5.3 n n n n n n x x x x hay x . Dạng 2: Cho dãy số {x n } : 0 n+1 ax ( ) n k x bx P n , với ( ) k P n là đa thức bậc k của n. Tìm số hạng tổng quát của dãy số ? Giải: Xét phương trình đặc trưng : 0 b a b a . * n x gọi là nghiệm riêng của phương trình sai phân. Khi đó số hạng tổng quát của dãy được xác định bởi : * . n n n x c x . Trong đó nghiệm riêng * n x Nếu a + b ≠ 0 thì nghiệm riêng * ( ) n k x Q n thay vào phương trình ta được: . ( 1) . ( ) ( ) k k k a Q n b Q n P n . Đồng nhất hệ số ta tìm được ( ) k Q n . Nếu a + b = 0 thì nghiệm riêng * . ( ) n k x n Q n thay vào phương trình ta được: ( 1). ( 1) . ( ) ( ) k k k a n Q n bn Q n P n . Đồng nhất hệ số ta tìm được . ( ) k n Q n . Thí dụ 1: Cho dãy số {x n } : 0 2 1 7 2 3 4 5 , . n n x x x n n n .Tìm số hạng tổng quát x n . Giải: Xét phương tình đặc trưng 2 0 2 . Ta có : a + b = 1 2 = -1 * 2 n x an bn c . Thay * n x vào pt, ta được : 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 2 2 3 4 5 a n b n c an bn c n n 2 2 (2 ) 3 4 5 an a b n a b c n n . * 2 3 3 2 4 10 3 10 18 5 18 n a a a b b x n n a b c c . CTT Q của số hạng trong dãy : 2 .2 3 10 18 n n x c n n . Từ 2 0 7 18 7 25. 25.2 3 10 18 n n x c c Suy ra x n n . Thí dụ 2: Cho dãy số {x n } : 0 1 5 4 5 , . n n x x x n n . Tìm CTTQ của x n . Giải: Xét phương trình đặc trưng 1 0 1 .Mai Xuân Việt – Email: [email protected] Tel : 01678336358 0938680277 0947572201 Ta có : a + b = 1 1 = 0 nên nghiệm riêng của pt có dạng * 2 ( ) n x n an b an bn . * n x vào pt, ta được : 2 2 ( 1) ( 1) 4 5 a n b n an bn n . 2 4 5 an a b n . * 2 2 4 2 2 3 5 3 n a a x n n a b b . Số hạng tổng quát của dãy có dạng : 2 2 3 n x c n n . Từ 2 0 5 5. 2 3 5. n x c Suy ra x n n Dạng 3: Cho dãy số {x n } : 0 n+1 ax ( onst) , n . n x bx d d c Khi đó số hạng tổng quát của dãy số là : 0 0 1 . 0. 1 0. n n n n b d a b x x neu a b a b a a x x nd neu a b Thí dụ 1: Cho dãy số {x n } : 0 1 5 6 , . n n x x x n . Tìm CTTQ của x n . Giải: Từ công thức truy hồi ta có : 1 2 3 0 6 2.6 3.6 ....... 6 6 5 n n n n n x x x x x n hay x n . Thí dụ 2: Cho dãy số {x n } : 0 1 3 8 4 , n n x x x n . Tìm CTT Q của x n . Giải: Từ công thức truy hồi, ta có : 2 2 2 1 2 2 2 0 8 1 8 1 8 4 8 8 4 4 8 . 4 8 1 8 . 4. ........ 8 . 4. 8 1 8 1 n n n n n n n x x x x x x . Suy ra 4 25 4 3.8 . 8 1 .8 . 7 7 7 n n n n x Dạng 4: Cho dãy số {x n } : 0 1 . , n n n x ax bx d n . Tìm CTTQ của x n . Giải: Xét phương trình đặc trưng : 0 . b a b q a Nếu thì nghiệm riêng của phương trình * . n n x c thay vào pt, ta được : 1 * . . . . . n n n n n n d d d a c b c d c x do b qa a b a b a q . Số hạng tổng quát của dãy : * 1 1 . . . n n n n n d x c q x c q a q Từ 0 1 1 0 0 0 . . . ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n d d d d d q x c c x x x q x q a q a q a q a q a q Nếu thì nghiệm riêng của phương trình * n n x cn thay vào pt, ta được : 1 ( 1) ( ) ( 1) ( 1) n n n d d d ac n bcn d c do q a n bn a n aqn aq .