Tuyển chọn các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học

Mô tả

348 TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác Cho tam giác ABC. Nếu ABC ACB thì AC AB và ngược lại. Cho hai tam giác ABC và MNP có = AB MN và = AC MP . Khi đó ta có bất đẳng thức BAC NMP BC NP Trong tam giác ABC ta có: + Nếu = 0 A 90 thì = + 2 2 2 BC AB AC + Nếu > 0 A 90 thì > + 2 2 2 BC AB AC + Nếu < 0 A 90 thì < + 2 2 2 BC AB AC Với mọi tam giác ABC ta luôn có: < < + < < + < < + AB AC BC AB AC AC BC AB AC BC BC AB AC BC AB Hệ quả: Cho n điểm 1 2 3 n A ; A ; A ;...; A . Khi đó ta luôn có + + + 1 2 2 3 n 1 n 1 n A A A A ... A A A A Dấu bằng xẩy ra n điểm 1 2 3 n A ; A ; A ;...; A thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó. Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Khi đó ta có + Nếu = 0 A 90 thì = 1 AM BC 2 + Nếu > 0 A 90 thì < 1 AM BC 2 + Nếu < 0 A 90 thì > 1 AM BC 2 2. Quan hệ giữa đường xiên, đường vuông góc và hình chiếu của đường xiên. Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: THCS.TOANMATH.com TÀI LI U TOÁN H C349 Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. 3. Các bất đẳng thức trong đường tròn. Trong một đường tròn thì đường kính là dây lớn nhất. Trong một đường tròn: Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại. Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn và ngược lại. Bán kính của hai đường tròn là R r , còn khoảng cách giữa tâm của chúng là d. + R – r d R r Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bất kì nằm trong đường tròn. Khi đó ta có + R – d MN R d Với N là điểm bất kì trên đường tròn và d là khoảng cách từ M tới tâm đường tròn. Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bất kì ngoài đường tròn. Khi đó ta có + d – R MN d R Với N là điểm bất kì trên đường tròn và d là khoảng cách từ M tới tâm đường tròn. 4. Các bất đẳng thức về diện tích. Với mọi tam giác ABC ta luôn có ABC 1 S AB.AC 2 , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông tại A Với mọi tứ giác ABC ta luôn có ABCD 1 S AC.BD 2 , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi AC vuông góc với BD. Với mọi tứ giác ABCD ta luôn có ( ) + ABCD 1 S AB.BC AD.DC 2 , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi = = 0 B D 90 . 5. Một số bất đẳng thức đại số thường dùng Với x, y là các số thực dương , ta luôn có ( ) ( ) + + + 2 2 2 2 2 x y 2xy; 2 x y x y , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi = x y Với x, y, z là các số thực dương , ta luôn có THCS.TOANMATH.com TÀI LI U TOÁN H C