Tuyển tập 300 bài toán bất đẳng thức chọn lọc có lời giải chi tiết

Mô tả

Người biên soạn: Trần Minh Quang Trang 1/53 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI, TUYỂN SINH ĐH-THPT QUỐC GIA VÀ LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán THCS, THPT và các kì thi tuyển sinh lớp 10 chuyên, nội dung về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất xuất hiện một cách đều đặn trong các đề thì với các bài toán ngày càng khó hơn. Trong chủ đề này, mình đã tuyển chọn và giới thiệu một số bài toán về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất được trích trong các đề thi học sinh giỏi môn toán cấp tỉnh và các đề thi chuyên toán các năm gần đây. Bài 1. a) Cho các số dương a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng: 1 1 1 9 a b c a b c b) Cho các số dương a, b, c thoả mãn 3 a b c . Chứng ming rằng: 2 2 2 1 2009 670 a b c ab bc ca Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Hải Phòng năm 2009 - 2010 Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương 3 3 1 1 1 1 ; 3 a b c abc a b c abc Suy ra 1 1 1 9 a b c a b c Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c b) Ta có: 2 2 2 2 2007 3 669 3 a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 9 a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca Suy ra 2 2 2 2 1 1 9 1 a b c ab bc ca a b c Do đó ta được 2 2 2 1 2009 670 a b c ab bc ca . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 a b c . Bài 2. Với số tự nhiên 3 n . Chúng minh rằng 1 2 n S . Với 1 1 1 ... 3 1 2 5 2 3 2 1 1 n S n n n Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bình Định năm 2009-2010 Lời giải Với 3 n , ta có 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1. 1 2 1 1 4 4 1 4 4 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +1 - n Do đó ta được 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 2 2 2 3 1 1 n S n n n Vậy bất đẳng thức được chứng minh.Người biên soạn: Trần Minh Quang Trang 2/53 Bài 3. Chứng minh rằng 2 1 2 3 2 m n n , với mọi số nguyên m, n. Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bình năm 2009-2010 Lời giải Vì m, n là các số nguyên nên m n là số hữu tỉ và 2 là số vô tỉ nên 2 0 m n . Ta xét hai trường hợp sau + Trường hợp 1: Với 2 m n , khi đó ta được 2 2 2 2 m 2 2 1 n m n hay 1 2 m 2n Từ đó suy ra 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 3 2 2 2 2 2 m n n n n n n n n n + Trường hợp 2: Với 2 m n , khi đó ta được 2 2 2 2 m 2 2 1 n m n hay 1 2 m 2n Từ đó suy ra 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 3 2 2 2 2 2 m m n n n n n n n n n n Vậy bài toán được chứng minh. Bài 4. Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 a b c b c c a a b Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Vĩnh Phúcnăm 2009-2010 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 2 2 a b c ab bc ca b c c a a b b c c a c a a b a b b c Mà ta lại có 1 ab a b bc b c ca c a a b b c c a ab bc ca b c c a c a a b a b b c a b b c c a a b b c c a Do đó bất đẳng thức trên trở thành 2 0 a b c b c c a a b . Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bài toán được chứng minh. Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn 3 a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 P ab bc ca a b c a b b c c a Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghệ An năm 2009-2010 Lời giải Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại 1 a b c và giá trị nhỏ nhất của P là 4. Ta quy bài toán về chứng minh bất đẳng thức: 2 2 2 2 2 2 4 ab bc ca a b c a b b c c a