102 bài toán bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất chọn lọc

Mô tả

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 95 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Với , , x y z là các số thực dương sao cho 1 . . 6 x y z . Chứng minh: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1. 8 1 8 27 1 27 1 x y y z z x Lời giải Có: 1 . . 6 . . 1 6 x y z x y z Ta có: 3 3 2 .2 2 x y x y x y 3 3 3 3 1 1 2 1 2 2 3 2 2 3 2 1 x y xy x y z xy x y z x y Chứng minh tương tự: 3 3 1 1 6 2 3 2 3 1 yz x y z y z 3 3 1 1 3 2 3 3 1 xz x y z z x 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 6 3 2 1 2 3 1 3 1 x y z xy yz zx x y y z z x 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1. 8 1 8 27 1 27 1 x y y z z x Bài 2. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn 3 x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 3 3 1 A xy y Lời giải 2 3 2 3 3 1 3 3 1 A xy y xy y 2 2 3 2 6 2 6 4 1 2 3 3 1 3 6 4 6 6 3 xy y xy y xy y xy y 3 1 1 2 . 1 6 y A y x 2 2 1 1 1 2 4 1 2 . 3 1 2 . 4 2 4 4 2 6 6 6 3 3 6 y y y y y y y 4 3 A với mọi , x y . Vậy 4 3 Min A khi 1; 2 x y .CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 96 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 3. Cho các số dương , a b thoả mãn 3 3 2 2 1 1 3 a b a b ab a b . Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: 2 2 8 2 a b M a b . Lời giải Ta có 3 3 2 2 1 1 3 a b a b ab a b 2 2 2 2 1 1 1 3 a b a b ab a b ab Vì 2 2 1 0 a,b R a b ab 1 1 3 3 a b a b Khi đó ta có 2 2 8 2 8 2 4 1 4 1 a b M a b a b a b a b a b a b 4 1 4 1 M a b a b a b 2 4 4 2 . 2 4 4 1 1 2 . 2 1 2 2 1 4 1 9 3 3 a a a a b b b b a b a b GTNN của M là 4 2 3 9 . Dấu “ 4 2 1 1 2 a a a b b b a b Vậy M 9 khi 2; 1 a b . Bài 4. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn 2 2 1 x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 P x y x y . Lời giải x , 0 y : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 2 2 x y x xy y x y x xy y x y x y 2 2 2 x y x y .