18 bài tập tọa độ phẳng có lời giải – phần đường Conic – Trần Sĩ Tùng

Mô tả

PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 22 TĐP 03: CÁC ĐƯỜNG CÔNIC Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ O xy , cho elip (E): x y 2 2 1 25 16 . A, B là các điểm trên (E) sao cho: AF BF 1 2 8 , với F F 1 2 , là các tiêu điểm. Tính AF BF 2 1 . 1 AF AF a 2 2 và BF BF a 1 2 2 1 2 AF AF BF BF a 1 2 4 20 Mà 1 AF BF 2 8 2 AF BF 1 12 Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ O xy , viết phương trình e lip với các tiêu F F 1 2 ( 1;1), (5;1) và tâm sai e 0,6 . Giả sử M x y ( ; ) là điểm thuộc elip. Vì nửa trục lớn của elip là c a e 3 5 0,6 nên ta có: MF MF x y x y 2 2 2 2 1 2 10 ( 1) ( 1) ( 5) ( 1) 10 x y 2 2 ( 2) ( 1) 1 25 16 Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ O xy , cho điểm C(2; 0) và elip (E): x y 2 2 1 4 1 . Tìm toạ độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều. A B 2 4 3 2 4 3 ; , ; 7 7 7 7 Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ O xy , cho elip (E): x y 2 2 1 100 25 . Tìm các điểm M (E) sao cho F MF 0 1 2 120 (F 1 , F 2 là hai tiêu điểm của (E)). Ta có: a b 10, 5 c 5 3 . Gọ i M(x; y) (E ) MF x MF x 1 2 3 3 10 , 10 2 2 . F F MF MF MF MF F MF 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 . .cos x x x x 2 2 2 3 3 3 3 1 10 3 10 10 2 10 10 2 2 2 2 2 x = 0 (y= 5) . Vậy có 2 điểm thoả YCBT: M 1 (0; 5), M 2 (0; 5). Câu 5. Trong mặt phẳng O xy , cho elip (E) có hai tiêu điểm F F 1 2 ( 3;0); ( 3;0) và A 1 3; 2 . Lập phương trình chính tắc của (E) và với mọi điểm M trên elip, hãy tính biểu thức: P F M F M OM F M F M 2 2 2 1 2 1 2 . . (E): x y a b a b 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 4 , a b 2 2 3 x y 2 2 1 4 1 M M M M M P a ex a ex x y a e x 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ) –( ) 1 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 23 Câu 6. Trong mặt phẳng toạ độ O xy , cho elip (E): x y 2 2 4 16 64 . Gọi F 2 là tiêu điểm bên phải của (E). M là điểm bất kì trên (E). Chứng tỏ rằng tỉ số khoảng cách từ M tới tiêu điểm F 2 và tới đường thẳng x 8 : 3 có giá trị không đổi. Ta có: F 2 ( 12;0) . Gọi M x y E 0 0 ( ; ) ( ) x MF a ex 0 2 0 8 3 2 , x d M x 0 0 8 3 8 ( , ) 3 3 (vì x 0 4 4 ) MF d M 2 3 ( , ) 2 (không đổi). Câu 7. Tr ong mặt phẳng với hệ toạ độ O xy , cho elip (E): x y 2 2 5 16 80 và hai điểm A( 5; 1), B( 1; 1). Một điểm M di động trên (E). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích MAB. Phương trình đường thẳng (AB): x y 2 3 0 và AB 2 5 Gọi M x y E x y 2 2 0 0 0 0 ( ; ) ( ) 5 16 80. Ta có: x y x y d M AB 0 0 0 0 2 3 2 3 ( ; ) 1 4 5 Diện tích MAB: S AB d M AB x y 0 0 1 . . ( ; ) 2 3 2 dụng bất đẳng thức Bunhiacốp x ki cho 2 cặp số x y 0 0 1 1 ; , ( 5 ; 4 ) 2 5 có: x y x y 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 9 . 5 .4 5 16 .80 36 2 5 4 20 5 x y x y x y x y 0 0 0 0 0 0 0 0 2 6 6 2 6 3 2 3 9 2 3 9 x y x y x y x y x y 0 0 0 0 0 0 0 0 5 4 5 8 1 1 max 2 3 9 2 6 2 5 2 3 9 x y 0 0 8 3 5 3 Vậy, MAB S khi M 8 5 max 9 ; 3 3 . Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ O xy , cho elíp x y E 2 2 ( ) : 1 9 4 và hai điểm A(3; 2), B( 3; 2) . Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dươ ng sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất. PT đường thẳng AB: x y 2 3 0 . Gọi C(x; y) (E), với x y 0, 0 x y 2 2 1 9 4 . ABC x y S AB d C AB x y 1 85 85 . ( , ) 2 3 3. 2 13 3 2 2 13 x y 2 2 85 170 3 2 3 13 9 4 13 Dấu "=" xảy ra x y x x y y 2 2 2 1 3 9 4 2 2 3 2 . Vậy C 3 2 ; 2 2 .