Bài tập tự luận chuyên đề vectơ – Trần Đình Thiên

Mô tả

nh- Hóc Môn -TPHCM Trang 1 I. VECTƠ 1. Các định nghĩa Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB . Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó. của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB . Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0 . Hai vectơ đgl cùng phƣơng nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ cùng phương có thể cùng hƣớng hoặc ngƣợc hƣớng . Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu a b , ,... + Qui ước: Vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. + Điều kiện cần và đủ để 3 điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là ha i véctơ AB , AC cùng phương. 2. Các phép toán trên vectơ a) Tổng của hai vectơ Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB BC AC . Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB AD AC . Tính chất: a b b a ; a b c a b c ; a a 0 b) Hiệu của hai vectơ Vectơ đối của a là vectơ b sao cho a b 0 . Kí hiệu vectơ đối của a là a . Vectơ đối của 0 là 0 . a b a b . Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB OA AB . c) Tích của một vectơ với một số Cho vectơ a và số k R . ka là một vectơ được xác định như sau: + ka cùng hướng với a nếu k 0 , ka ngược hướng với a nếu k < 0. + ka k a . . Tính chất: k a b ka kb ; k l a ka la ( ) ; k la kl a ( ) ka 0 k = 0 hoặc a 0 . a vaø b a cuøng phöông k R b ka 0 : A, B, C thẳng hàng k 0 : AB k AC . Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phƣơng: Cho hai vectơ không cùng phương a b , và x tuỳ ý. Khi đó ! m, n R: x ma nb . Chú ý: Hệ thức trung điểm đoạn thẳng : M là trung điểm của đoạn thẳng AB MA MB 0 OA OB OM 2 (O tuỳ ý). Hệ thức trọng tâm tam giác : G là trọng tâm ABC GA GB GC 0 OA OB OC OG 3 (O tuỳ ý). VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ Baøi 1. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0 ) có điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, C, D ? nh- Hóc Môn -TPHCM Trang 2 Baøi 2. Cho ABC có A , B , C lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. a) Ch BC C A A B . b) Tìm các vectơ bằng B C C A , . Baøi 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC. Chứng minh: MP QN MQ PN ; . Baøi 4. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh: a) AC BA AD AB AD AC ; . b) Nếu AB AD CB CD thì ABCD là hình chữ nhật. Baøi 5. Cho hai véc tơ a b , . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng: a b a b . Baøi 6. Cho ABC đều cạnh a. Tính AB AC AB AC ; . Baøi 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB AC AD . Baøi 8. Cho ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ HA HB HC , , . Baøi 9. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các vectơ AB AD , AB AC , AB AD . VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ dụng: Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ. Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác. Tính chất của các hình. Baøi 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh: a) AB DC AC DB b) AD BE CF AE BF CD . Baøi 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh: a) Nếu AB CD thì AC BD b) AC BD AD BC IJ 2 . c) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: GA GB GC GD 0 . d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Chứng minh các Baøi 3. Cho 4 A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung của BC và CD. Chứng minh: AB AI JA DA DB 2( ) 3 . Baøi 4. Cho ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh: RJ IQ PS 0 . Baøi 5. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM. a) Chứng minh: IA IB IC 2 0 . b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: OA OB OC OI 2 4 . Baøi 6. Cho ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh: a) AH OM 2 b) HA HB HC HO 2 c) OA OB OC OH . Baøi 7. Cho hai tam giác ABC và A B C lần lượt có các trọng tâm là G và G . a) Chứng minh AA BB CC GG 3 . b) Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.