Các bài toán về ước và bội

Mô tả

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | CHUYÊN Đ S H C A. KiÕn thøc cÇn nhí I . 1) Định nghĩa về ước và bội S t nhiên 0 d c g c c a s t nhiên a khi và ch khi a chia h t cho d . Ta nói d là ướ c c a a . Nhận xét : Tập hợp các ước của a là Ư ( ) { } : | a d N d a = Bội: S t nhiên m c g i là b i c a 0 a khi và ch khi m chia h t cho a hay a là m t c s m. Nhận xét: Tập hợp các bội của a ( ) 0 a là ( ) { } 0; ;2 ;...; , B a a a ka k Z = 2) Tính chất: - S 0 là b i c a m i s nguyên khác 0. S 0 không ph c c a b t kì s nguyên nào. - Các s 1 và - 1 là ướ c c a m i s nguyên. - Nếu ( ) { } 1; a a = thì a là số nguyên tố. - Số lượng các ước của một số : Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A là . . x y z a b c ... thì số lượng các ước của A bằng ( )( )( ) 1 1 1 x y z + + + ... Thật vậy ước của A là số có dạng mnp ...trong đó: m có 1 x + cách chọn (là 2 1, , , , x a a a ... ) n có 1 y + cách chọn (là 2 1, , , , y b b b ... ) p có 1 z + cách chọn (là 2 1, , , , z c c c ... ),... Do đó, số lượng các ước của A bằng ( )( )( ) 1 1 1 x y z + + + II. Ước chung và bội chung 1) Định nghĩa N u hai t p h p ng ph n t chung thì nh ng ph n t c s chung c a a và b. Kí hi CH 1 CÁC BÀI TOÁN V C VÀ B I 5 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC| CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI CHINH PH C K THI H C SINH GI I C P HAI Nhận xét: Nếu ƯC ( ) { } ; 1 a b = thì a và b nguyên tố cùng nhau. S d N c g c s chung l n nh t c a a và b ( ) ; a b Z khi d là ph n t l n nh t trong t p h . Kí hi u c chung l n nh t c a a và b là a; b ) ho a;b ) ho c gcd(a;b). Bội chung (BC): N u hai t p h ng ph n t chung thì nh ng ph n t i là b i s chung c a a và b . Kí hi Bội chung nhỏ nhất (BCNN): S 0 m c g i là b i chung nh nh t c a a và b khi m là s nh nh t khác 0 trong t p h u b i chung nh nh t c a a và b là BCNN( a; b ) ho c [ ] ; a b ho c lcm(a;b). 2) Cách tìm ƯCLN và BCNN a) Mu a hai hay nhi u s l c hi c sau : 1. Phân tích m i s ra th a s nguyên t 2.- Ch n ra các th a s nguyên t chung 3.- L p tích các th a s n, m i th a s l y v i s mũ nhỏ nh t c a nó Tích đó là ƯCLN phả i tìm . Ví d : 2 30 2.3.5, 20 2 .5 = = 2.5 10. = = Chú ý : - N u các s không có th a s nguyên t chung thì ƯCLN củ a chúng là 1. - Hai hay nhi u s c i là các s nguyên t cùng nhau. - Trong các số đã cho , nếu số nhỏ nhất là ước các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy . b) Mu n tìm BCNN c a hai hay nhi u s l c hi c sau : 1- Phân tích m i s ra th a s nguyên t . 2- Ch n ra các th a s nguyên t chung và riêng . 3- L p tích các th a s n , m i th a s l y v i s mũ lớ n nh t c a chúng Tích đó là BCNN phả i tìm . Ví d : 2 30 2.3.5, 20 2 .5 = = BCNN(30; 20) 2 2 .3.5 60 = = Chú ý: - N u các s t nguyên t cùng nhau thì BCNN c a chúng là tích các s Ví d : BCNN(5 ; 7 ; 8) = 5 . 7 . 8 = 280 - Trong các s , n u s l n nh t là b i c a các s c i thì BCNN c a các s chính là s l n nh Ví dụ : BCNN(12 ; 16 ; 48) = 48 3) Tính chất Một số tính chất của ước chung lớn nhất: TỦ SÁCH CẤP 2 | 6