Chuyên đề bất đẳng thức bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 – 7

Mô tả

GV: Ngô Th Hoàng_ THCS H p Đ c 1 CHUYÊN ĐỀ B NG TH C D NG LŨY TH Phương pháp: So sánh các s h ng trong t ng v i các s h ng trong t ng liên ti p đ tìm m i quan h , N u mu n ch ng minh l n hơn 1 giá tr k nào đó, ta c n so sánh v i s h ng có m u l n hơn, và ngư c l i Bài 1: Ch ng minh r ng: 2 2 2 2 1 1 1 1 ... 1 2 3 4 100 A = + + + + HD: Ta th y bài toán có d ng t ng các lũy th a b c hai, nên ta s phân tích t ng A như sau: 1 1 1 1 1 ... 2.2 3.3 4.4 99.99 100.100 A = + + + + + n đây ta s so sánh v i phân s có m u nh hơn, vì yêu c u bài toán là ch ng minh nh hơn . 1 1 1 1 1 ... 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 A + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 3 3 4 98 99 99 100 = + + + + + 1 1 1 1 100 A Bài 2: Ch ng minh r ng: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ... 6 5 6 7 100 4 + + + + HD: bài toán này, ta ph i ch ng minh hai chi u, chi u th nh t ta c n ch ng minh: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 5 6 7 99 100 A = + + + + + và Ch ng minh 1 6 A Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 5.6 6.7 7.8 99.100 100.101 A = + + + + + + + + + + 1 1 96 5 101 505 A = n đây, ta s so sánh 96 505 v i 1 6 như sau: Ta có: 96 96 1 505 576 6 = b ng các h ta nhân c t và m u c a phân s 1 6 v i 96 đ c hai phân s cùng t r i so sánh khi đó ta có: 96 96 1 505 567 6 A = (1) Chi u th hai, ta c n ch ng minh: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ... 5 6 7 99 100 4 A = + + + + + Ta làm tương t như sau : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 4.5 5.6 6.7 98.99 99.100 A = + + + + + + + + + + => 1 1 1 4 100 4 A (2) T (1) và (2) ta có : 1 1 6 4 A Bài 3: Ch ng minh r ng: 2 2 2 2 1 1 1 1 3 ... 2 3 4 100 4 + + + + HD : Ta bi n đ i : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 4 3.3 4.4 99.99 100.100 4 2.3 3.4 4.5 99.100 A = + + + + + + + + + + 1 1 1 3 1 3 4 2 100 4 100 4 A + = GV: Ngô Th Hoàng_ THCS H p Đ c 2 Bài 4: Ch ng minh r ng: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 2 4 6 100 2 A = + + + + HD : Nh n th y bài này là t ng cùng lũy th a nhưng cơ s l i ch n, nên ta s t ng lũy th a hai liên ti p như sau : 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 2 2 3 4 50 4 1.2 2.3 3.4 49.50 A = + + + + + + + + + + => 1 1 1 1 1 1 1 4 50 2 200 2 A + = Bài 5: Ch ng minh r ng: 2 3 100 1 2 3 100 ... 2 2 2 2 2 A = + + + + HD : Nh n th y bài này có d ng t ng lũy th a cùng cơ s , nên ta s th c hi n phép tính t ng A Vi c tính chính xác đư c t ng A s gi m b t s sai s , tuy nhiên không ph i t ng nào cũng có th tính đư c, Ta tính t ng A như sau: 2 3 98 99 2 3 4 99 100 2 1 ... 2 2 2 2 2 A = + + + + + + Sau đó l y 2A tr A theo v và nhóm các phân s có cùng m u ta đư c : 2 3 99 100 3 1 1 1 100 ... 2 2 2 2 2 A = + + + + , đ t 2 3 4 99 1 1 1 1 ... 2 2 2 2 B = + + + + và tính t ng B theo cách như trên ta c : 99 1 1 2 2 B = , thay vào A ta đư c : 99 100 3 1 1 100 2 2 2 2 2 A = + Bài 6: Ch ng minh r ng: 2 3 100 1 2 3 100 3 ... 3 3 3 3 4 A = + + + + HD : Tính tư ng t như bài 5, ta có: 2 3 99 100 1 1 1 1 100 2 1 ... 3 3 3 9 3 A = + + + + + , t 2 3 99 1 1 1 1 ... 3 3 3 3 B = + + + + , và tính B r i thay vào t ng A ta đư c 99 99 100 1 1 1 1 100 1 3 3 2 1 2 1 2 2.3 2 2.3 3 2 2 4 B A A A = = = + = + = = Bài 7 : Ch ng minh r ng: 2 2 2 2 1 1 1 1 ... 1 2 3 4 A n = + + + + HD : Ta có : ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .... ... 1 1 2.2 3.3 4.4 . 1.2 2.3 3.4 1 A n n n n n = + + + + + + + + = Bài 8 : Ch ng minh r ng: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 4 6 8 (2 ) 4 A n = + + + + HD : Ta có : ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 1 2 2 3 4 4 1.2 2.3 1 4 A n n n n = + + + + + + + = 1 1 1 4 4 4 n = Bài 9 : So sánh 2 2 2 2 1 1 1 1 ... 2 4 6 (2 ) A n = + + + + v i 1 2 HD : 2 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 2 2 2 4 2 4 2 A n n n = + + + + + = Bài 10 : Ch ng minh r ng v i s t nhiên n>2 thì 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 1 2 3 4 A n = + + + + + không là s t nhiên HD :