Chuyên đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục

Mô tả

Chuyên đề gi i h n và liên t c H i toán B c Nam GI I H N DÃY S A. LÝ THUY T I. DÃY S CÓ GI I H N 0 . 1. Ta nói r ng dãy s n u có gi i h n 0 ( hay có gi i h n là 0 ) n u v i m i s dương nhỏ tùy ý cho trướ c, m i s h ng c a dãy s , k t m t s h u có giá tr tuy i nh hơn số dương đó. Kí hi u: lim 0 n u . Nói m t cách ng n g n, lim 0 n u n u n u có th nh hơn mộ t s d t s h ng nào đó trở T ng: a) lim 0 lim 0 n n u u . b) Dãy s không đổ i n u , v i 0 n u , có gi i h n là 0 . c) Dãy s n u có gi i h n là 0 n u n u có th g n 0 bao nhiêu cũng đượ c, mi n là n l n. 2. M t s dãy s có gi i h n 0 nh lí 4.1 Cho hai dãy s n u và n v . N u n n u v v i m i n và lim 0 n v thì lim 0 n u . nh lí 4.2 N u 1 q thì lim 0 n q . Ngườ i ta ch c r ng a) 1 lim 0 n . b) 3 1 lim 0 n c) 1 lim 0 k n v i m i s nguyên dương k cho trướ c. Trườ ng h c bi t : 1 lim 0 n . d) lim 0 k n n a v i m i * k và m i 1 a cho trướ c. II. DÃY S CÓ GI I H N H U H N. 1. Định nghĩa Ta nói r ng dãy s n u có gi i h n là s th c L n u lim 0 n u L . Kí hi u: lim n u L . Dãy s có gi i h n là m t s th c g i là dãy s có gi i h n h u h n. a) Dãy số không đổi n u với n u c , có giới hạn là c . b) lim n u L khi và chỉ khi khoảng cách n u L trên trục số thực từ điểm n u L trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n n tăng thì các điểm n u chụm lại” quanh điểm L .Chuyên đề gi i h n và liên t c H i toán B c Nam c) Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn. 2. M t s nh lí nh lí 4.3 Gi s lim n u L . Khi đó a) lim n u L và 3 3 lim n u L . b) N u 0 n u v i m i n thì 0 L và lim n u L . nh lí 4.4 Gi s lim n u L , lim n v M và c là m t h ng s a) lim n n u v L M . b) lim n n u v L M . c) lim n n u v LM . D) lim n cu cL . e) lim n n u L v M (n u 0 M ). 3. T ng c a c p s nhân lùi vô h n nh nghĩa C p s nhân lùi vô h n là c p s nhân có công b i q th a 1 q . Công th c tính t ng c a c p s nhân lùi vô h n: 2 1 1 1 1 ... 1 u S u u q u q q III. DÃY S CÓ GI I H N VÔ C C. 1. Dãy s có gi i h n Ta nói r ng dãy s n u có gi i h n n u v i m i s dương tùy ý cho trướ c, m i s h ng c a dãy s , k t m t s h u l dương đó. Kí hi u: lim n u . Nói m t cách ng n g n, lim n u n u n u có th l t s dương lớ n tùy ý, k t s h ng nào đó trở Ngườ i ta ch c r ng: a) lim n u . b) 3 lim n u c) lim k n v i m t s nguyên dương k cho trướ c. Trườ ng h c bi t : lim n . d) lim n q n u 1 q . 2. Dãy s có gi i h n Ta nói r ng dãy s n u có gi i h n n u v i m i s c, m i s h ng c a dãy s , k t m t s h u nh hơn số Kí hi u: lim n u . Nói m t cách ng n g n, lim n u n u n u có th nh hơn mộ t s tùy ý, k t s h ng nào đó trở Nh n xét: a) lim lim n n u u .