Chuyên đề mặt nón

Mô tả

Nhóm Tài liệu dạy thêm CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 1 | LTTN MẶT NÓN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Mặt nón tròn xoay Trong mặt phẳng P , cho hai đường thẳng d và cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc với 0 0 0 90 . Khi quay P xung quanh trục với góc không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay (gọi tắt là mặt nón) đỉnh O (hình 1). gọi là trục, đường thẳng d 2 gọi là góc ở đỉnh. 2. Hình nón tròn xoay Cho OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2). OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón. Hình tròn tâm I , bán kính r IM là đáy của hình nón. Phần mặt tròn xoay sinh bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh OI gọi là mặt xung quanh của hình nón. Khối nón tròn xoay (gọi tắt là khối nón) là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay, kể cả hình nón đó. 3. Một số tính chất a) Nếu cắt hình nón bởi mặt phẳng P P cắt hình nón theo hai đường sinh giao tuyến là tam giác cân. P tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh ( P là mặt phẳng tiếp diện của hình nón). b) Nếu cắt hình nón bởi mặt phẳng P không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau: Nếu P vuông góc với trục hình nón giao tuyến là một đường tròn. Nếu P song song với 2 đường sinh hình nón giao tuyến là một nhánh của hypebol. Nếu P song song với 1 đường sinh hình nón giao tuyến là một đường parabol. 4. Công thức diện tích và thể tích của hình nón Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh là l thì có: Diện tích xung quanh: xq S rl . Diện tích toàn phần hình nón: tp xq 2 S S S rl r . O d O Hình 1. Hình 2. O I MNhóm Tài liệu dạy thêm CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 2 | LTTN Thể tích khối nón: nón 2 1 1 . 3 3 V S h r h . B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 1: Cho tam giác vuông OIM quanh cạnh góc vuông OI tạo thành một hình nón tròn xoay. Biết góc 30 IOM và cạnh IM a . Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay và thể tích của khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón tròn xoay trên. Giải: Ta có: r IM a . 2 sin IM l OM a IOM , 2 2 3 h OI OM IM a . Diện tích xung quanh của hình nón: xq 2 .2 2 S rl a a a . Thể tích của khối nón: 3 2 2 1 1 3 3 3 3 3 a V r h a a . Ví dụ 2: Một hình nón có đường kính đáy là 2 3 a , góc ở đỉnh là 0 120 . Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón trên. Giải: Ta có 3 r IA a , 60 IOA nên 3 2 sin 60 3 2 IA a l OA a , 2 2 2 2 4 3 . h OI OA IA a a a Diện tích xung quanh của hình nón: xq 2 3.2 2 3 S rl a a a . Diện tích đáy của hình nón: 2 2 3 S r a . Diện tích toàn phần của hình nón: tp xq 2 2 2 2 3 3 2 3 3 S S S a a a . Thể tích của khối nón: 2 3 1 1 . 3 . 3 3 V S h a a a . Ví dụ 3: Cho hình nón có chiều cao h cm, bán kính đáy r cm. Mặt phẳng là 12 cm. Tính diện tích thiết diện đó. Giải: Ta có cắt hình nón theo thiết diện là tam giác cân OAB với , A B là hai điểm nằm trên đường tròn đáy. Gọi H là trung điểm AB khi đó IH AB . Mà OI AB suy ra 1 AB OIH . Kẻ IK OH , K nằm trên OH . O I M 30 K I A h B r H O O I A 120 B