Một số vấn đề cơ bản về giới hạn của dãy số – Nguyễn Hữu Hiếu

Mô tả

Trường THPT Hùng Vương - Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu m- biên soạn Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Dãy số n u dãy số tăng nếu với mọi n ta có 1 n n u u Dãy số n u là dãy số giảm nếu với mọi n ta có 1 n n u u 2. Dãy số n u bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho , * n u M n Dã y số n u bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho , * n u m n Dãy số n u bị chặn nếu tồn tại một số M và một số m sao cho , * n m u M n 3. a. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. b. Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. 4. a. Mọi dãy tăng và không bị chặn trên thì tiến tới . b. Mọi dãy giảm và không bị chặn dưới thì tiến tới . 5. a. Nếu một dãy n u hội tụ đến a thì mọi dãy con trích từ n u cũng hội tụ đến a . b. n u hội tụ đến a 2 n u và 2 1 n u hội tụ đến a . 6. a. Nếu lim 0 n n u và 0, n u n thì 1 lim n n u b. Nếu lim n n u và 0, n u n thì 1 lim 0 n n u 7. .(Định lý kẹp giữa về giới hạn). Nếu với mọi 0 n n ta luôn có n n n u x v và lim lim n n u v a thì lim n x a 8. Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để chứng minh dãy số có giới hạn Bài toán . Chứng minh dãy số n u xác định bởi 1 1 ; 2 n n u a u f u n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó ( f x là hàm số liên tục). Phương pháp giải a) Dãy n x bị chặn. Nếu f x là hàm số tăng trên ; a b thì dãy n x tụ đến L là nghiệm của phương trình f x x .Trường THPT Hùng Vương - Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu m- biên soạn Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 2 b) Nếu f x là hàm số nghịch biến thì các dãy con 2 2 1 ; n n x x của dãy n x ngược chiều biến thiên. N hận xét : Nếu dãy 2 n x hội tụ đến L , dãy 2 1 n x hội tụ đến K : Với L K thì dãy n x không có giới hạn; Với L K thì dãy n x có giới hạn là L . II. B 1. CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN Bài 1. Cho dãy số n (u ) xác định bởi công thức 1 * 1 2 3 1 3 2 ; ( ). 3 n n n u u u n u . Chứng mi nh dãy số có giới hạn. Tính lim n u ? Lời giải Theo công thức xác định dãy ( ) n u , ta có * 0; n u n . 3 2 * 3 1 2 2 2 1 3 1 3 3 2 . 3 ; 3 3 n n n n n n n n u u u u u n u u u . Do đó: 3 * 3 ; n u n . Mặt khác: 3 1 2 2 2 3 2 1 1 3 1 0 3 3 3 n n n n n n n n n u u u u u u u u u . Vậy ( ) n u là dãy số giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn. Giả sử, lim n u a .Ta có: 3 2 2 2 1 3 3 3 a a a a a a . Kết luận. 3 lim 3 n u . Bài 2. Ch minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó Bài 3. Chứng minh dãy số 0 1 1 1 ; 1, 2,3... 3 n n u u n u có giới hạn và tìm giới hạn đó. a) n x : 1 1 3 1 , 6 2 1 n n n x x x x b) n x : 1 1 2; 2 n n x x x c) n x : ! ; 2 1 !! n n x n N n d) n x : 1 1 13; 12 n n x x x e) n x : 2 1 1 1 4 ; 2 3 n n n x x x x