Chuyên đề tổ hợp và xác suất – Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn

Mô tả

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc 300 Chuyeân ñeà 11 : Vaán ñeà 1: SÖÛ DUÏNG COÂNG THÖÙC k k n n n P ,A ,C A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI 1. HOAÙN VÒ Soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû: P n =n! 2. CHÆNH HÔÏP: Soá chænh hôïp: m n A n(n 1)(n 2)...(n m 1) m n n! A (n m)! n m vaø n, m nguyeân döông 3 . TOÅ HÔÏP: Soá toå hôïp: m n n(n 1)(n 2)...(n m 1) C 1.2.3...m m n n! C m!(n m)! n m n, m nguyeân döông Ta coù coâng th 1/ m n m n n C C 2/ m 1 m m n 1 n 1 n C C C 3/ 0 1 2 n n n n n n C C C ..... C 2 Soá taäp hôïp con cuûa taäp hôïp n phaân töû laø 2 n . B.ÑEÀ THI Baøi 1: Chöùng minh raèng k k 1 k n 1 n 1 n n 1 1 1 1 n 2 C C C (n, k laø caùc soá nguyeân döông, k k n C laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû). Giaûi Ta coù: k k 1 n 1 n 1 n 1 1 1 n 1 k!(n 1 k)! (k 1)!(n k)! . n 2 n 2 (n 1)! C C 1 k!(n k)! . (n 1 k) (k 1) n 2 n! k n k!(n k)! 1 n! CTT Luy i H N 301 Baøi 2: Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû (n A baèng 20 laàn soá taäp con goàm 2 phaàn töû cuûa A. Tìm k 2..., n} sao cho soá taäp con goàm k phaàn töû cuûa A laø lôùn nhaát. Giaûi Soá taäp con k phaàn töû cuûa taäp hôïp A baèng k n C . Töø giaû thieát suy ra: 4 2 n n C 20C 2 n 5n 234 0 n 18 (vì n 4). Do k 1 18 k 18 C 18 k 1 k 1 C k < 9 neân 1 2 9 9 10 18 18 18 18 18 18 18 C C ... C C C ... C Vaäy soá taäp con goàm k phaàn töû cuûa A laø lôùn nhaát khi vaø chæ khi k = 9. Baøi 3: Tính giaù trò bieåu thöùc 4 3 n 1 n A 3A M (n 1)! , bieát raèng : 2 2 2 2 n 1 n 2 n 3 n 4 C 2C 2C C 149 (n laø soá nguyeân döông, k n A laø soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû vaø k n C laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû). Giaûi 3. Ta coù 2 2 2 2 n 1 n 2 n 3 n 4 C 2C 2C C 149 (n 1)! (n 2)! (n 3)! (n 4)! 2 2 149 2!(n 1)! 2!n! 2!(n 1)! 2!(n 2)! n 2 + 4n 45 = 0 n = 5 hay n = 9 (loaïi). suy ra M = 4 3 6 5 6! 5! 3. A 3A 3 2! 2! 6! 6! 4 . Baøi 4: Tìm soá nguyeân n lôùn hôn 1 thoûa maõn ñaúng thöùc: 2 2 n n n n 2P 6A P A 12 . ( n P laø soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû vaø k n A laø soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû). Giaûi Ta coù: 2 2 n n n n 2P 6A P A 12 (n , n 2) n! n! 2.n! 6. n! 12 (n 2)! (n 2)! n! n! (6 n!) 2(6 n!) 0 (6 n!) 2 0 (n 2)! (n 2)! 6 n! 0 n! 6 n 3 n! 2 0 n(n 1) 2 0 n 2 (n 2)!