Đề chọn đội tuyển dự HSG Quốc gia 2019 môn Toán sở GD và ĐT Quảng Bình

Mô tả

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC DỰ THI HSG QUỐC GIA NĂM 2019 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề ) Ngày thi thứ nhất: 21/08/2018. Câu 1. ( 5 điểm ) Cho dãy số n u thỏa mãn 1 * 1 1 1 1 . 1 n n u u n u a) Chứng minh rằng: dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. b) Chứng minh rằng: 2018 2 1 4036. k k u Câu 2: (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn AB AC có H là trực tâm, nội tiếp đường tròn (O). , BE CF là các đường cao của tam giác ABC ( , ) E AC F AB . Đường thẳng EF cắt BC tại G, a) Gọi T là trung điểm của BC. Chứng minh: GH AT . b) Lấy điểm P nào đó trên tia BC (P nằm ngoài đoạn BC). Đường tròn (O) cắt AP tại I và cắt đường tròn đường kính AP tại Q (I, Q đều khác A). AQ cắt BC tại J. Chứng minh rằng: đường thẳng IJ luôn đi qua một điểm cố định. Câu 3. ( 5 điểm ) Cho 1 2 1 2 1 0 ( ) ... n n n n n P x x a x a x a x a là đa thức với hệ số thực, n là số nguyên dương chẵn và có n nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt). Giả sử y là số thực dương thỏa mãn với mọi số thực t y thì ( ) 0 P t . Chứng minh rằng: (0) ( ) . n n P P y y Câu 4. ( 5 điểm ) Cho 2018 số nguyên dương 1 2 2018 , ,..., a a a và số nguyên 1 a sao cho a chia hết cho 1 2 2018 . ..... a a a . Chứng minh rằng: 2019 1 a a không chia hết cho 1 2 2018 1 1 ... 1 a a a a a a . .............................HẾT................................SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC DỰ THI HSG QUỐC GIA NĂM 2019 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề ) Ngày thi thứ nhất: 21/08/2018. HƯỚNG DẪN CHẤM ( Yªu cÇu chung * cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu hình, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0. * thành phần lớn hơn 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,5 điểm. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức * BÀI NỘI DUNG Câu 1 Cho dãy số n u thỏa mãn 1 * 1 1 1 1 . 1 n n u u n u a) Chứng minh: dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. b) Chứng minh rằng: 2018 2 1 4036. k k u 5,0 1a 2,5